Bac 2024, Asie : exercice 1

Partie A

Question 1. On lit sur la courbe $\mathcal{C}$ les variations de $f$ sur $[0\,;5]$.

La courbe monte de $x=0$ jusqu'à un maximum atteint en $x=1{,}5$, puis descend jusqu'en $x=5$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1{,}5]$ puis strictement décroissante sur $[1{,}5\,;5]$.

Valeurs lues : $f(0)\approx-5{,}4$, $f(1{,}5)\approx2{,}4$ (maximum) et $f(5)\approx0{,}3$.

Le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;5]$ est donc : flèche montante de $f(0)\approx-5{,}4$ à $f(1{,}5)\approx2{,}4$, puis flèche descendante de $2{,}4$ à $f(5)\approx0{,}3$.

Question 2. La tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A traverse la courbe : à gauche de A, la courbe est en dessous de $T$   à droite de A, la courbe est au-dessus de $T$.

Une courbe située sous ses tangentes est concave, une courbe située au-dessus de ses tangentes est convexe. La fonction $f$ semble donc passer de concave à convexe en $x=\dfrac52$.

Donc la courbe $\mathcal{C}$ semble présenter un point d'inflexion au point A.

Réponse : un point d'inflexion en A.

Question 3. On associe $f'$ et $f''$ à leurs courbes en utilisant les variations et la convexité de $f$.

Courbe de $f'$. La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;1{,}5]$ et décroissante sur $[1{,}5\,;5]$, donc $f'$ est positive sur $[0\,;1{,}5[$, s'annule en $1{,}5$, puis est négative sur $]1{,}5\,;5]$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $[0\,;1{,}5[$, coupe l'axe en $1{,}5$, puis est en dessous. Donc $\mathcal{C}_2$ représente $f'$.

Courbe de $f''$. Le point A d'abscisse $\dfrac52$ semble être un point d'inflexion : $f$ est concave avant, convexe après, donc $f''$ est négative sur $\left[0\,;\dfrac52\right[$, s'annule en $\dfrac52$, puis est positive.

La courbe $\mathcal{C}_1$ est en dessous de l'axe des abscisses avant $2{,}5$ et au-dessus après. Donc $\mathcal{C}_1$ représente $f''$.

Vérification avec la partie B : $f'(0)=6\mathrm{e}\approx16{,}3$, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{C}_2$ (environ $16$), et $f''(0)=-10\mathrm{e}\approx-27{,}2$, qui correspond à l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{C}_1$ (environ $-27$).

Donc $\mathcal{C}_2$ représente $f'$ et $\mathcal{C}_1$ représente $f''$.

Réponse : $f'$ correspond à $\mathcal{C}_2$ et $f''$ correspond à $\mathcal{C}_1$.

Question 4. Si la courbe $\mathcal{C}_3$ représentait une primitive $F$ de $f$, on aurait $F'=f$ : les variations de $F$ seraient données par le signe de $f$.

Sur la courbe $\mathcal{C}$, $f$ est strictement négative sur $[0\,;0{,}5[$ (la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=0{,}5$), puis strictement positive sur $]0{,}5\,;5]$.

Donc $F$ serait strictement décroissante sur $[0\,;0{,}5]$ puis strictement croissante sur $[0{,}5\,;5]$.

Or la courbe $\mathcal{C}_3$ est croissante sur $[0\,;0{,}5]$ puis décroissante sur $[0{,}5\,;5]$ : ses variations sont l'inverse de celles attendues.

Donc la courbe $\mathcal{C}_3$ ne peut pas représenter une primitive de $f$.

Réponse : non.

Partie B

Question 1. a) La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables.

On pose $u(x)=4x-2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x+1}$. Alors $u'(x)=4$ et, d'après la dérivée d'une composée, $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x+1}$.

Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\geqslant0$ :

Donc, pour tout $x\geqslant0$, $f'(x)=(-4x+6)\,\mathrm{e}^{-x+1}$.

Question 1. b) Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x+1}>0$. Donc $f'(x)$ a le même signe que $-4x+6$.

On a $-4x+6=0\iff x=\dfrac32$, et $-4x+6>0\iff x<\dfrac32$.

Donc :

• $f'(x)>0$ pour $x\in\left[0\,;\dfrac32\right[$

• $f'\left(\dfrac32\right)=0$

• $f'(x)<0$ pour $x\in\left]\dfrac32\,;+\infty\right[$.

On en déduit le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ :

• $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac32\right]$, de $f(0)=-2\mathrm{e}\approx-5{,}44$ à $f\left(\dfrac32\right)=4\,\mathrm{e}^{-1/2}\approx2{,}43$

• $f$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac32\,;+\infty\right[$, de $f\left(\dfrac32\right)=4\,\mathrm{e}^{-1/2}$ vers la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (admise).

Le maximum de $f$ est $f\left(\dfrac32\right)=4\,\mathrm{e}^{-1/2}\approx2{,}43$, atteint en $x=\dfrac32$.

Question 1. c) La fonction $f'$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables. On pose $u(x)=-4x+6$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x+1}$, donc $u'(x)=-4$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x+1}$.

Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x+1}>0$. Donc $f''(x)$ a le même signe que $4x-10$, qui s'annule en $x=\dfrac52$.

Donc :

• $f''(x)<0$ sur $\left[0\,;\dfrac52\right[$ : $f$ est concave sur $\left[0\,;\dfrac52\right]$

• $f''(x)>0$ sur $\left]\dfrac52\,;+\infty\right[$ : $f$ est convexe sur $\left[\dfrac52\,;+\infty\right[$.

La dérivée seconde $f''$ s'annule en changeant de signe en $\dfrac52$. Donc la courbe représentative de $f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\dfrac52$ (c'est le point A de la partie A).

Question 2. a) La fonction $F(x)=(ax+b)\,\mathrm{e}^{-x+1}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$. Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=ax+b$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x+1}$ :

La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\geqslant0$, c'est-à-dire

Comme $\mathrm{e}^{-x+1}>0$, cela équivaut à $-ax+a-b=4x-2$ pour tout $x\geqslant0$. Deux fonctions polynômes de degré au plus $1$ égales sur un intervalle ont les mêmes coefficients, donc

La première équation donne $a=-4$. La seconde donne $b=a+2=-2$.

Donc $a=-4$ et $b=-2$, et $F(x)=(-4x-2)\,\mathrm{e}^{-x+1}$.

Réponse : $a=-4$ et $b=-2$.

Question 2. b) La fonction $f$ est continue sur $\left[\dfrac32\,;8\right]$ et $F$ est une primitive de $f$. Donc

On calcule :

Donc

À la calculatrice, $I\approx4{,}82$ (arrondie à $10^{-2}$ près).

Réponse : $I=8\,\mathrm{e}^{-1/2}-34\,\mathrm{e}^{-7}\approx4{,}82$.

Question 3. a) Le point de départ D est le point de la courbe d'abscisse $\dfrac32$ : sa hauteur est $f\left(\dfrac32\right)$.

On a $f\left(\dfrac32\right)=\left(4\times\dfrac32-2\right)\mathrm{e}^{-3/2+1}=4\,\mathrm{e}^{-1/2}\approx2{,}43$ m.

Donc la hauteur du point de départ D est d'environ $2{,}43$ m, soit $243$ cm au centimètre près.

Réponse : environ $243$ cm.

Question 3. b) La fonction $f$ est positive sur $\left[\dfrac32\,;8\right]$ (d'après son tableau de variations, $f$ est décroissante de $4\,\mathrm{e}^{-1/2}$ vers $0$ sur cet intervalle, et $f(x)=0$ seulement pour $x=\dfrac12$). L'aire du mur de profil, en mètres carrés, est donc l'intégrale

L'artiste couvre $75\,\%$ de cette surface, soit

Une bombe de $150$ mL couvre $0{,}8$ m$^2$. Le nombre de bombes nécessaires est

Le nombre de bombes est un entier : il faut arrondir à l'entier supérieur.

Donc l'artiste devra utiliser $5$ bombes.

Réponse : $5$ bombes.

Points clés attendus

• Partie A : lire les variations sur la courbe, relier le point d'inflexion au passage de la tangente d'un côté à l'autre de la courbe, et justifier l'association $f'$, $f''$ par les changements de signe.

• Question 4 de la partie A : une primitive $F$ vérifie $F'=f$, donc ses variations se déduisent du signe de $f$.

• Dériver avec $(uv)'=u'v+uv'$ et justifier le signe par $\mathrm{e}^{-x+1}>0$.

• Convexité : étudier le signe de $f''$ et conclure sur l'abscisse du point d'inflexion.

• Primitive : identifier les coefficients, puis calculer l'intégrale par $F(8)-F\left(\frac32\right)$.

• Dernière question : l'aire est une intégrale (fonction positive), et le nombre de bombes est arrondi à l'entier supérieur.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.