Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1.

Pour tout $x>0$, comme $a>0$ :

Donc la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point, d'abscisse $1$.

Réponse : le point d'intersection a pour abscisse $1$.

Question 2.

La fonction $F(x)=a\left[x\ln x-x\right]$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour le produit $x\ln x$, on pose $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac1x$. La formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne

On en déduit, pour tout $x>0$ :

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 3.

Sur l'intervalle $[1\,;x_0]$ (avec $x_0>1$), on a $\ln x\geqslant0$ et $a>0$, donc $f(x)\geqslant0$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[1\,;x_0]$ : l'aire du domaine bleuté, délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=x_0$, est égale, en unités d'aire, à

D'après la question 2, $F$ est une primitive de $f$ :

On calcule les deux valeurs :

On en déduit

Donc l'aire du domaine bleuté est $a\left(x_0\ln x_0-x_0+1\right)$ unités d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=a\left(x_0\ln x_0-x_0+1\right)$.

Question 4.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac ax$. Le point $M$ a pour coordonnées $\left(x_0\,;a\ln x_0\right)$ et $f'(x_0)=\dfrac a{x_0}$.

La tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation

On développe :

Le point A est le point d'intersection de $T$ avec l'axe des ordonnées : on prend $x=0$, ce qui donne $y=a\ln x_0-a$. Donc

Le point B est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées : il a la même ordonnée que $M$ et une abscisse nulle. Donc

Les points A et B sont sur l'axe des ordonnées, donc la longueur $AB$ est la valeur absolue de la différence de leurs ordonnées :

car $a>0$.

Donc la longueur $AB$ est égale à $a$, constante qui ne dépend pas de $x_0$.

Réponse : $AB=a$.

Points clés attendus

• Question 1 : utiliser $a>0$ pour passer de $a\ln x=0$ à $\ln x=0$.

• Question 2 : dériver $F$ en détaillant la formule du produit pour $x\ln x$.

• Question 3 : justifier que $f$ est positive sur $[1\,;x_0]$ (donc l'intégrale est bien une aire), puis utiliser la primitive $F$ en calculant $F(1)=-a$.

• Question 4 : écrire l'équation de la tangente avec la formule $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$, déterminer les coordonnées de A et de B, et conclure avec $a>0$ pour la valeur absolue.

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