Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2023, Métropole : exercice 3

20 mars 2023 · jour 1 · 5 points Python

Chapitre 1 : Suites

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ
130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$ -ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\,u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$ .

Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
$u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.$

En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

def seuil(p) :
         n=1
         u=3
         while u<=p :
                   n=n+1
                  u=0.9*u+1.3
         return n

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:

v_n = 9 - 6 \times \text{e}^{-0,19\times(n - 1)}.

Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$ -ième mois sur la FAQ.

Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$ .
Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$ .

Partie C : Comparaison des deux modèles

L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.

Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

Justifier votre réponse.
En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On a

u_2 = 0{,}9\,u_1 + 1{,}3 = 0{,}9 \times 3 + 1{,}3 = 2{,}7 + 1{,}3 = 4.

Puis

u_3 = 0{,}9\,u_2 + 1{,}3 = 0{,}9 \times 4 + 1{,}3 = 3{,}6 + 1{,}3 = 4{,}9.

Les termes de la suite sont exprimés en centaines de questions. Donc, d'après ce modèle, il y a $400$ questions sur la FAQ au deuxième mois et $490$ au troisième mois.

Réponse : $u_2 = 4$ et $u_3 = 4{,}9$ .

Question 2.

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété $u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n$ .

Initialisation. Pour $n = 1$ :

13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9 = 13 - 10 = 3 = u_1.

Donc

\mathcal{P}(1)

est vraie.

Hérédité. Soit $k \geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^k$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ .

D'après la relation de récurrence puis l'hypothèse de récurrence :

\begin{aligned} u_{k+1} &= 0{,}9\,u_k + 1{,}3 \\ &= 0{,}9\left(13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^k\right) + 1{,}3 \\ &= 11{,}7 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{k+1} + 1{,}3 \\ &= 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{k+1}. \end{aligned}

Donc

\mathcal{P}(k+1)

est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n \geqslant 1$ ,

u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n.

Question 3.

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on calcule la différence de deux termes consécutifs :

\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left(13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{n+1}\right) - \left(13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\right) \\ &= \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n \times 0{,}9 \\ &= \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n \times (1 - 0{,}9) \\ &= \dfrac{10}{9} \times 0{,}9^n. \end{aligned}

Une puissance de $0{,}9$ est strictement positive, donc $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n \geqslant 1$ .

Donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 4.

La fonction seuil(p) part de $n = 1$ et $u = u_1 = 3$ , puis tant que $u \leqslant p$ elle passe au mois suivant ( $n$ augmente de $1$ , $u$ est remplacé par $0{,}9\,u + 1{,}3$ ). Elle renvoie donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n > p$ .

Pour seuil(8.5), on calcule les termes successifs :

$u_1 = 3$   $u_2 = 4$   $u_3 = 4{,}9$   $u_4 = 5{,}71$
$u_5 = 6{,}439$   $u_6 = 7{,}0951$   $u_7 = 7{,}68559$
$u_8 = 8{,}217031$ , qui est inférieur ou égal à $8{,}5$
$u_9 = 8{,}6953279$ , qui est strictement supérieur à $8{,}5$ .

La boucle s'arrête donc lorsque $n = 9$ : seuil(8.5) renvoie $9$ .

Interprétation : c'est à partir du $9^{\text{e}}$ mois que la FAQ contient plus de $850$ questions.

Réponse : seuil(8.5) renvoie $9$ .

Partie B

Question 1.

On a $v_1 = 9 - 6\,\mathrm{e}^{0} = 9 - 6 = 3$ , soit $3{,}00$ au centième.

Puis $v_2 = 9 - 6\,\mathrm{e}^{-0{,}19} \approx 4{,}038$ , soit $4{,}04$ au centième.

Réponse : $v_1 = 3{,}00$ et $v_2 \approx 4{,}04$ .

Question 2.

On résout l'inéquation $v_n > 8{,}5$ pour $n \geqslant 1$ :

\begin{aligned} 9 - 6\,\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} > 8{,}5 &\iff 6\,\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} < 0{,}5 \\ &\iff \mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} < \dfrac{1}{12}. \end{aligned}

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : on l'applique aux deux membres, qui sont strictement positifs.

\begin{aligned} &\iff -0{,}19(n-1) < \ln\left(\dfrac{1}{12}\right) = -\ln(12) \\ &\iff n - 1 > \dfrac{\ln(12)}{0{,}19} \quad \text{(on divise par } -0{,}19 < 0\text{, le sens s'inverse)}. \end{aligned}

Or $\dfrac{\ln(12)}{0{,}19} \approx 13{,}078$ , donc $n > 14{,}078$ .

La plus petite valeur entière de $n$ est donc $15$ . Vérification : $v_{14} \approx 8{,}49 < 8{,}5$ et $v_{15} \approx 8{,}58 > 8{,}5$ .

Donc la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8{,}5$ est $15$ .

Réponse : $n = 15$ .

Partie C

Question 1.

Plus de $850$ questions sur la FAQ signifie, en centaines, un terme strictement supérieur à $8{,}5$ .

Pour le premier modèle, d'après la question 4 de la partie A et la croissance de $(u_n)$ , c'est à partir du $9^{\text{e}}$ mois. Pour le second modèle, d'après la question 2 de la partie B, c'est à partir du $15^{\text{e}}$ mois.

Comme $9 < 15$ , c'est la première modélisation (suite $(u_n)$ ) qui conduit à modifier la présentation du site le plus tôt.

Question 2.

Premier modèle. Comme $-1 < 0{,}9 < 1$ , on a $\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0$ . Donc

\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0 = 13.

Second modèle. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} -0{,}19(n-1) = -\infty$ , donc par composée avec l'exponentielle, $\lim\limits_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)} = 0$ et

\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 9.

Comme $13 > 9$ , c'est la première modélisation qui donne le plus grand nombre de questions à long terme : environ $1\,300$ questions contre $900$ .

Points clés attendus

Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion.
Montrer la croissance en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$ à partir de la forme explicite.
Pour l'algorithme, dérouler les valeurs successives de $u$ jusqu'à la sortie de la boucle et interpréter le résultat.
Résoudre $v_n>8{,}5$ avec le logarithme en précisant le changement de sens de l'inégalité, puis conclure par un entier.
Comparer les modèles en citant les limites et le seuil de $850$ questions.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Métropole, 20 mars 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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