Bac 2023, Métropole : exercice 1

Question 1. Réponse d.

On cherche, parmi les quatre fonctions proposées, celle dont la dérivée est $f$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $F : x \mapsto \dfrac12 \mathrm{e}^{x^2-3}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de la fonction polynôme $u : x \mapsto x^2-3$, dérivable sur $\mathbb{R}$, et de la fonction exponentielle, dérivable sur $\mathbb{R}$.

On utilise la formule de dérivation d'une composée $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}$, avec $u(x)=x^2-3$ et $u'(x)=2x$.

Pour tout réel $x$ :

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Les autres propositions sont à écarter. Avec la formule $(vw)'=v'w+vw'$ et $\left(\mathrm{e}^{x^2-3}\right)'=2x\,\mathrm{e}^{x^2-3}$ :

• la dérivée de $2x\,\mathrm{e}^{x^2-3}$ est $2\mathrm{e}^{x^2-3}+2x\times 2x\,\mathrm{e}^{x^2-3}=\left(4x^2+2\right)\mathrm{e}^{x^2-3}$, différente de $f(x)$ (proposition a.)

• la dérivée de $\left(2x^2+1\right)\mathrm{e}^{x^2-3}$ est $4x\,\mathrm{e}^{x^2-3}+\left(2x^2+1\right)\times 2x\,\mathrm{e}^{x^2-3}=\left(4x^3+6x\right)\mathrm{e}^{x^2-3}$, différente de $f(x)$ (proposition b.)

• la dérivée de $\dfrac12 x\,\mathrm{e}^{x^2-3}$ est $\dfrac12\left(2x^2+1\right)\mathrm{e}^{x^2-3}$, différente de $f(x)$ (proposition c.).

Donc la seule primitive de $f$ parmi les propositions est celle de la proposition d.

Réponse : $F(x)=\dfrac12 \mathrm{e}^{x^2-3}$, proposition d.

Question 2. Réponse c.

Pour tout entier naturel $n$ :

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=\mathrm{e}^2$, de premier terme $u_0=\mathrm{e}$.

Les autres propositions sont à écarter :

• la suite n'est pas arithmétique : $u_0=\mathrm{e}$, $u_1=\mathrm{e}^3$, $u_2=\mathrm{e}^5$, donc $u_1-u_0=\mathrm{e}^3-\mathrm{e}$ et $u_2-u_1=\mathrm{e}^5-\mathrm{e}^3$, qui sont différents (proposition a.)

• la raison est $\mathrm{e}^2$ et non $\mathrm{e}$, puisque $\mathrm{e}^2\neq\mathrm{e}$ (proposition b.)

• comme $u_0=\mathrm{e}>0$ et $q=\mathrm{e}^2>1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ : la suite ne converge pas vers $\mathrm{e}$ (proposition d.).

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^2$.

Réponse : proposition c., géométrique de raison $\mathrm{e}^2$.

Question 3. Réponse a.

La fonction doit renvoyer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>10\,000$.

Le programme part de $n=0$ et $u=15=u_0$, et la boucle while fait passer de $(n,u_n)$ à $(n+1,u_{n+1})$.

La boucle doit donc se poursuivre tant que le seuil n'est pas dépassé, c'est-à-dire tant que $u\leqslant 10\,000$.

À la sortie de la boucle, la condition est fausse, donc $u>10\,000$. Comme la boucle s'est arrêtée dès que le seuil a été franchi, la valeur de $n$ renvoyée est le plus petit entier tel que $u_n>10\,000$.

Les autres propositions sont à écarter :

• avec u = 10000, la boucle ne s'exécuterait pas, car $u=15\neq 10\,000$ au départ, et n renverrait $0$ (proposition b.)

• avec u > 10000, la boucle ne s'exécuterait pas non plus, car $15\leqslant 10\,000$ (proposition c.)

• avec n <= 10000, la condition porte sur l'indice et non sur la valeur du terme (proposition d.).

Donc la ligne 4 est while u<=10000:.

Réponse : proposition a., u<=10000.

Question 4. Réponse b.

Pour tout entier naturel $n$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}2$, de premier terme $v_0=u_0+60=75$.

Les autres propositions sont à écarter :

• comme $v_0=75>0$ et $1{,}2>1$, on a $v_{n+1}-v_n=0{,}2\,v_n>0$ pour tout $n$ : la suite est croissante et non décroissante (proposition a.)

• la suite n'est pas arithmétique : $v_1=90$, $v_2=108$, donc $v_1-v_0=15$ et $v_2-v_1=18$ (proposition c.)

• la suite est géométrique, donc la proposition d. est fausse.

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}2$.

Réponse : proposition b., géométrique de raison $1{,}2$.

Points clés attendus

• Question 1 : reconnaître la forme $u'\mathrm{e}^{u}$ et vérifier la primitive en dérivant.

• Question 2 : montrer que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (égal à $\mathrm{e}^2$) en utilisant $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b$.

• Question 3 : la condition de la boucle while est la négation de l'objectif $u_n>10\,000$.

• Question 4 : factoriser $1{,}2\,u_n+72$ en $1{,}2\left(u_n+60\right)$ pour faire apparaître $v_n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.