Bac 2023, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1.

La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Dérivons chaque terme pour $x>0$ :

Donc, pour tout $x>0$ :

Mettons au même dénominateur $x^3$ :

Pour tout $x>0$, on a $x^3>0$. Donc le quotient $g'(x)$ a le même signe que son numérateur.

Donc, pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme $x^2-2x+2$.

Question 2.

Étudions le signe du trinôme $x^2-2x+2$. Son discriminant est

Le trinôme n'a donc pas de racine réelle, et son coefficient dominant $1$ est strictement positif. Donc $x^2-2x+2>0$ pour tout réel $x$.

On peut aussi l'écrire sous forme canonique : $x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geqslant1>0$.

D'après la question 1, $g'(x)>0$ pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$.

Donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Question 3.

Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones) à $g$ sur l'intervalle $[0{,}5\,;1]$.

Hypothèses :

• $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc continue sur $[0{,}5\,;1]$

• $g$ est strictement croissante sur $[0{,}5\,;1]$, d'après la question 2

• aux bornes :

  $$\begin{aligned} g(0{,}5)&=\dfrac{2}{0{,}5}-\dfrac{1}{0{,}25}+\ln 0{,}5=4-4+\ln0{,}5=-\ln2<0,\\ g(1)&=2-1+\ln1=1>0. \end{aligned}$$

Donc $0$ est compris entre $g(0{,}5)$ et $g(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une solution dans $[0{,}5\,;1]$. Comme $g$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution est unique.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0{,}5\,;1]$. À la calculatrice, $\alpha\approx0{,}592$.

Question 4.

La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.

• Si $0<x<\alpha$, alors $g(x)<g(\alpha)=0$ : $g(x)$ est strictement négatif.

• Si $x>\alpha$, alors $g(x)>g(\alpha)=0$ : $g(x)$ est strictement positif.

Donc $g$ est strictement négative sur $]0\,;\alpha[$, s'annule en $\alpha$ et est strictement positive sur $]\alpha\,;+\infty[$, ce qui justifie le tableau de signes donné.

Partie B

Question 1.

On admet que $f'(x)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac1x+\ln x\right)$ pour tout $x>0$. Dérivons ce produit $u\,v$ avec $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\dfrac1x+\ln x$, de dérivées $u'(x)=\mathrm{e}^x$ et $v'(x)=-\dfrac1{x^2}+\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

On factorise par $\mathrm{e}^x$ :

Donc, pour tout $x>0$, $f''(x)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac2x-\dfrac1{x^2}+\ln x\right)$.

Question 2.

Cette question est une indication pour la suite. D'après la question 1 et la définition de $g$, on a, pour tout $x>0$ :

Question 3. a)

Pour tout $x>0$, $\mathrm{e}^x>0$. Donc $f''(x)=\mathrm{e}^x\,g(x)$ a le même signe que $g(x)$.

D'après la partie A, question 4 :

• $f''(x)<0$ pour $x\in\,]0\,;\alpha[$

• $f''(\alpha)=0$

• $f''(x)>0$ pour $x\in\,]\alpha\,;+\infty[$.

Donc $f''$ est négative sur $]0\,;\alpha]$ et positive sur $[\alpha\,;+\infty[$, et ne s'annule qu'en $\alpha$.

Question 3. b)

Un point de la courbe est un point d'inflexion lorsque la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en son abscisse.

D'après la question 3. a), $f''$ s'annule en $\alpha$ et change de signe en $\alpha$ (négative avant, positive après), et elle ne s'annule nulle part ailleurs.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, le point A d'abscisse $\alpha$.

Question 3. c)

La convexité se déduit du signe de $f''$ :

• $f''\leqslant0$ sur $]0\,;\alpha]$, donc $f$ est concave sur $]0\,;\alpha]$

• $f''\geqslant0$ sur $[\alpha\,;+\infty[$, donc $f$ est convexe sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Donc $f$ est concave sur $]0\,;\alpha]$ et convexe sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Question 4. a)

Limite en $+\infty$. On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Par produit de limites :

Limite en $0$. On a $\lim\limits_{x\to0}\mathrm{e}^x=1$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$. Par produit de limites :

Donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 4. b)

Comme $g(\alpha)=0$, on a

Remplaçons $\ln\alpha$ dans $f'(\alpha)=\mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac1\alpha+\ln\alpha\right)$ :

On met au même dénominateur $\alpha^2$ :

Donc $f'(\alpha)=\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$.

Question 4. c)

On a $\alpha\in[0{,}5\,;1]$ et $g(1)=1\neq0$, donc $\alpha\neq1$ et $\alpha<1$. Donc $1-\alpha>0$.

De plus $\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}}{\alpha^2}>0$. Donc, par produit, $f'(\alpha)>0$.

Étudions maintenant les variations de $f'$. Sa dérivée est $f''$, qui est négative sur $]0\,;\alpha]$ et positive sur $[\alpha\,;+\infty[$ (question 3. a)). Donc $f'$ est décroissante sur $]0\,;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Elle admet donc un minimum en $\alpha$ : pour tout $x>0$, $f'(x)\geqslant f'(\alpha)$.

Comme $f'(\alpha)>0$, on obtient $f'(x)\geqslant f'(\alpha)>0$ pour tout $x>0$.

Donc $f'(\alpha)>0$ et $f'(x)>0$ pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$.

Question 4. d)

D'après la question 4. c), $f'(x)>0$ sur $]0\,;+\infty[$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

D'après la question 4. a), $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0^+$ et vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Le tableau de variations de $f$ se résume donc ainsi : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, de limite $-\infty$ en $0^+$ à limite $+\infty$ en $+\infty$.

Points clés attendus

• Question 3 (partie A) : énoncer les trois hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (continuité, stricte monotonie, signes aux bornes) pour obtenir existence et unicité.

• Question 4 (partie A) : déduire le signe de $g$ de la stricte croissance et de $g(\alpha)=0$.

• Partie B, question 3 : relier le signe de $f''$ à la convexité, et le changement de signe de $f''$ au point d'inflexion.

• Question 4. b) : utiliser $g(\alpha)=0$ pour remplacer $\ln\alpha$ et éliminer le logarithme.

• Question 4. c) : $f'$ a un minimum en $\alpha$ et ce minimum est strictement positif, d'où le signe de $f'$ sur tout l'intervalle.

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