Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 2

Question 1.

Chaque année, $15\,\%$ des membres du club A passent au club B et $10\,\%$ des membres du club B passent au club A, donc $85\,\%$ des membres de A restent en A et $90\,\%$ des membres de B restent en B.

Le nombre de membres du club A en 2024 est donc

Le nombre de membres du club B en 2024 est

Contrôle : $a_1+b_1=1575+1425=3000$.

Donc, en 2024, le club A compte $1575$ membres et le club B en compte $1425$.

Réponse : $a_1=1575$ et $b_1=1425$.

Question 2.

Aucun sportif ne quitte le groupe et aucun n'y entre, et chaque sportif appartient à exactement un des deux clubs. Donc le nombre total de sportifs reste égal à $3000$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=3000$.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$, les membres du club A l'année $n+1$ sont les $85\,\%$ des membres de A qui restent, auxquels s'ajoutent les $10\,\%$ des membres de B qui arrivent :

D'après la question 2, $b_n=3000-a_n$, donc

Donc, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0{,}75\,a_n+300$.

Question 4. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $1200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant1700$.

Initialisation. On a $a_0=1700$ et $a_1=1575$ (question 1), donc $1200\leqslant1575\leqslant1700\leqslant1700$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $1200\leqslant a_{k+1}\leqslant a_k\leqslant1700$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ : $1200\leqslant a_{k+2}\leqslant a_{k+1}\leqslant1700$.

La fonction $g\,:\,x\mapsto0{,}75x+300$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (fonction affine de coefficient directeur $0{,}75>0$), donc elle conserve l'ordre. On l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence, en rappelant que $a_{k+2}=g(a_{k+1})$ et $a_{k+1}=g(a_k)$ (question 3) :

On calcule $g(1200)=0{,}75\times1200+300=1200$ et $g(1700)=0{,}75\times1700+300=1575$. Donc

Comme $1575\leqslant1700$, on en déduit $1200\leqslant a_{k+2}\leqslant a_{k+1}\leqslant1700$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant1700$.

Question 4. b)

D'après la question 4. a), pour tout entier $n$, $a_{n+1}\leqslant a_n$ : la suite $(a_n)$ est décroissante.

Toujours d'après la question 4. a), pour tout entier $n$, $a_{n+1}\geqslant1200$ et $a_0=1700\geqslant1200$ : la suite $(a_n)$ est minorée par $1200$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(a_n)$ converge.

Question 5. a)

Pour tout entier naturel $n$, $v_n=a_n-1200$. On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}75$, de premier terme $v_0=a_0-1200=1700-1200=500$.

Question 5. b)

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est $v_n=v_0\,q^{n}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=500\times0{,}75^{n}$.

Question 5. c)

Pour tout entier naturel $n$, $a_n=v_n+1200$, donc d'après la question 5. b) :

Question 6. a)

On a $-1<0{,}75<1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}75^{n}=0$.

Par produit par $500$ puis somme avec $1200$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(500\times0{,}75^{n}+1200\right)=1200$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1200$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1200$.

Question 6. b)

À long terme, le nombre de membres du club A se rapproche de $1200$.

Comme $a_n+b_n=3000$, le nombre de membres du club B se rapproche alors de $3000-1200=1800$.

Question 7. a)

Le programme doit répéter le calcul de $a_{n+1}$ à partir de $a_n$ tant que le nombre de membres du club A n'est pas strictement inférieur à $1280$, c'est-à-dire tant que $A\geqslant1280$. À chaque passage, n augmente de $1$ et A est remplacé par $0{,}75A+300$. À la sortie de la boucle, n est le plus petit rang cherché, et la fonction le renvoie.

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while A >= 1280 :
        n = n + 1
        A = 0.75 * A + 300
    return n

Question 7. b)

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $a_n<1280$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $0<0{,}75<1$, $\ln(0{,}75)<0$ : on divise par $\ln(0{,}75)$ en changeant le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier vérifiant cette inégalité est $7$.

Contrôle : $a_6=500\times0{,}75^{6}+1200\approx1289{,}0\geqslant1280$ et $a_7=500\times0{,}75^{7}+1200\approx1266{,}8<1280$.

Donc la fonction seuil renvoie $7$.

Réponse : $7$.

Points clés attendus

• Traduire les pourcentages en coefficients de reste et de transfert, puis utiliser $a_n+b_n=3000$ pour obtenir une relation de récurrence en $a_n$ seul.

• Récurrence rédigée (Initialisation, Hérédité avec hypothèse énoncée, Conclusion) en justifiant la croissance de la fonction affine $x\mapsto0{,}75x+300$.

• Citer le théorème de la limite monotone : suite décroissante et minorée.

• Prouver que $(v_n)$ est géométrique en factorisant $0{,}75\left(a_n-1200\right)$, puis donner $v_n$ et $a_n$.

• Seuil : condition de boucle while A >= 1280 et changement de sens de l'inégalité avec $\ln(0{,}75)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.