Bac 2023, Centres étrangers : exercice 1

Question 1. Réponse B.

Une primitive de $f$ est une fonction dérivable $F$ telle que $F'=f$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivons $F(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=x-1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$, soit $u'(x)=1$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$.

Pour tout réel $x$ :

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Élimination des autres propositions, par le même calcul :

• A : $\left(\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^{x}\right)'=x\mathrm{e}^{x}+\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^{x}=\left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)\mathrm{e}^{x}\neq f(x)$

• C : $\left((x+1)\mathrm{e}^{x}\right)'=\mathrm{e}^{x}+(x+1)\mathrm{e}^{x}=(x+2)\mathrm{e}^{x}\neq f(x)$

• D : la fonction $x\mapsto\dfrac{2}{x}\mathrm{e}^{x^2}$ n'est pas définie en $0$, donc n'est pas définie sur $\mathbb{R}$.

Donc la bonne proposition est B.

Réponse : B.

Question 2. Réponse D.

Lecture graphique et hypothèses de l'énoncé :

• la courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $1$, avec $f(x)<0$ sur $]0\,;1[$ et $f(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$

• le maximum de $f$ est atteint en $3$, donc $f$ est croissante sur $]0\,;3]$ et décroissante sur $[3\,;+\infty[$, d'où $f'(x)>0$ sur $]0\,;3[$ et $f'(x)<0$ sur $]3\,;+\infty[$

• P d'abscisse $5$ est l'unique point d'inflexion : $f''$ s'annule en changeant de signe en $5$ seulement. La courbe est concave sur $]0\,;5]$, donc $f''(x)<0$ sur $]0\,;5[$, et convexe sur $[5\,;+\infty[$, donc $f''(x)>0$ sur $]5\,;+\infty[$.

Examinons chaque proposition.

• A est fausse : pour $x\in]0\,;1[$, $f(x)<0$ et $f'(x)>0$, de signes contraires.

• B est fausse : pour $x\in]5\,;+\infty[$, $f(x)>0$ et $f'(x)<0$, de signes contraires.

• C est fausse : pour $x\in]0\,;3[$, $f'(x)>0$ et $f''(x)<0$, de signes contraires.

• D est vraie : pour $x\in]5\,;+\infty[$, $f(x)>0$ et $f''(x)>0$, de même signe.

Donc la bonne proposition est D.

Réponse : D.

Question 3. Réponse D.

Condition $g(0)=2$ : comme $\mathrm{e}^{0}=1$,

Condition sur la limite : $\lim\limits_{t\to+\infty}(-t)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc par composition $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-t}=0$.

Si $b\neq0$, par quotient :

(Le cas $b=0$ est exclu : on aurait $g(0)=a=2$ et $g(t)=2\mathrm{e}^{t}\to+\infty$, ce qui contredit la limite $3$.)

On remplace : $3b=2b+2$, donc $b=2$, puis $a=6$.

Vérification : $g(0)=\dfrac{6}{2+1}=2$ et $\dfrac{6}{2}=3$.

Donc $a=6$ et $b=2$, proposition D.

Réponse : D ($a=6$, $b=2$).

Question 4. Réponse C.

On note $A$ l'évènement « Alice choisit l'urne A », $B$ l'évènement « Alice choisit l'urne B » et $V$ l'évènement « la boule tirée est verte ».

L'urne est choisie au hasard : $P(A)=P(B)=\dfrac12$.

L'urne A contient $2$ boules vertes sur $4$ : $P_A(V)=\dfrac24=\dfrac12$.

L'urne B contient $3$ boules vertes sur $4$ : $P_B(V)=\dfrac34$.

Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

On cherche $P_V(B)$. Par définition de la probabilité conditionnelle :

Donc, sachant que la boule obtenue est verte, la probabilité qu'Alice ait choisi l'urne B est $\dfrac35$ : proposition C.

Réponse : C ($\dfrac35$).

Question 5. Réponse b.

La somme $S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{100}$ s'écrit $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{99}\dfrac{1}{k+1}$.

Il faut donc initialiser $S$ à $0$, puis, pour $k$ allant de $0$ à $99$ (ce que fait range(100)), ajouter $\dfrac1{k+1}$ à $S$.

Le script b fait exactement cela : S = 0, puis dans la boucle S = S + 1/(k + 1), et il renvoie $S$.

Élimination des autres scripts :

• a : l'instruction S = 1/(k+1) remplace $S$ au lieu de l'incrémenter   à la fin de la boucle, $S=\dfrac1{100}$

• c : la variable S est utilisée dans la condition while S < 100 sans avoir été initialisée, ce qui provoque une erreur   de plus k n'est jamais incrémenté et la condition porte sur $S$, non sur le nombre de termes

• d : la variable S est utilisée dans S = S + 1/(k + 1) sans avoir été initialisée, ce qui provoque une erreur   de plus k n'est jamais incrémenté, donc la boucle ne s'arrêterait pas.

Donc le script qui calcule $S$ est le script b.

Réponse : b.

Points clés attendus

• Question 1 : dériver chaque candidat et comparer à $f$ (formule $(uv)'=u'v+uv'$).

• Question 2 : traduire les hypothèses (maximum en $3$, inflexion en $5$, racine en $1$) en signes de $f$, $f'$ et $f''$ sur chaque intervalle.

• Question 3 : traduire les deux conditions en équations sur $a$ et $b$   justifier $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-t}=0$.

• Question 4 : nommer la formule des probabilités totales (partition $\{A,B\}$) avant d'appliquer la probabilité conditionnelle.

• Question 5 : repérer l'initialisation de S, l'incrément (et non l'affectation) et la bonne plage de range.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.