Bac 2023, Centres étrangers : exercice 2

Partie A

Question 1.

La fonction $g$ est définie sur $]-1{,}5\,;+\infty[$ par $g(x)=\ln(2x+3)-1-x$.

Quand $x$ tend vers $-1{,}5$ par valeurs supérieures, $2x+3$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives.

Comme $\lim\limits_{X\to0^+}\ln(X)=-\infty$, par composition :

De plus $\lim\limits_{x\to-1{,}5}(-1-x)=-1+1{,}5=0{,}5$.

Par somme :

Donc la limite de $g$ en $-1{,}5$ est $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-1{,}5}g(x)=-\infty$.

Question 2.

La fonction $g$ est dérivable sur $]-1{,}5\,;+\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables (pour $x>-1{,}5$, on a $2x+3>0$).

On utilise $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=2x+3$ et $u'(x)=2$.

Pour tout $x>-1{,}5$ :

Signe de $g'(x)$ : sur $]-1{,}5\,;+\infty[$, $2x+3>0$, donc $g'(x)$ est du signe de $-2x-1$.

On a $-2x-1>0\iff x<-0{,}5$, et $-2x-1=0\iff x=-0{,}5$.

Donc :

• $g'(x)>0$ sur $]-1{,}5\,;-0{,}5[$ : $g$ est strictement croissante sur $]-1{,}5\,;-0{,}5]$

• $g'(-0{,}5)=0$

• $g'(x)<0$ sur $]-0{,}5\,;+\infty[$ : $g$ est strictement décroissante sur $[-0{,}5\,;+\infty[$.

La fonction $g$ admet donc un maximum en $-0{,}5$ :

Donc $g$ est strictement croissante sur $]-1{,}5\,;-0{,}5]$, puis strictement décroissante sur $[-0{,}5\,;+\infty[$, avec pour maximum $g(-0{,}5)=\ln2-0{,}5>0$.

Question 3. a)

Sur l'intervalle $]-0{,}5\,;+\infty[$ :

• $g$ est continue, car dérivable

• $g$ est strictement décroissante (question 2)

• $g$ est de limite $-\infty$ en $+\infty$ (admis), et $g(-0{,}5)=\ln2-0{,}5>0$, donc $g$ prend des valeurs strictement positives (au voisinage de $-0{,}5$) puis des valeurs strictement négatives.

Ainsi $0$ est compris entre $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ et $g(-0{,}5)>0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues strictement monotones), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-0{,}5\,;+\infty[$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-0{,}5\,;+\infty[$.

3. b)

À la calculatrice :

Donc $g(0{,}26)<0=g(\alpha)<g(0{,}25)$.

Comme $g$ est strictement décroissante sur $]-0{,}5\,;+\infty[$, l'ordre des antécédents est inversé :

Donc un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est $0{,}25<\alpha<0{,}26$.

Réponse : $0{,}25<\alpha<0{,}26$.

Partie B

Question 1.

Soit $x\in[-1\,;\alpha]$, c'est-à-dire $-1\leqslant x\leqslant\alpha$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1{,}5\,;+\infty[$ (admis), et $[-1\,;\alpha]\subset]-1{,}5\,;+\infty[$.

Donc elle conserve l'ordre :

Calcul de $f(-1)$ :

Calcul de $f(\alpha)$ : on a $g(\alpha)=0$, c'est-à-dire $f(\alpha)-\alpha=0$, donc $f(\alpha)=\alpha$.

On obtient $-1\leqslant f(x)\leqslant\alpha$.

Donc, si $x\in[-1\,;\alpha]$, alors $f(x)\in[-1\,;\alpha]$.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha$.

Initialisation. On a $u_0=0$ et $u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx0{,}099$.

Comme $\alpha>0{,}25$ (question A 3. b), on a

c'est-à-dire $-1\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant\alpha$.

Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $-1\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant\alpha$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $-1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant\alpha$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1{,}5\,;+\infty[$, qui contient $[-1\,;\alpha]$.

On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence, en conservant le sens des inégalités :

Or $f(-1)=-1$, $f(\alpha)=\alpha$ (question B 1), $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$ et $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$.

On obtient $-1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant\alpha$.

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha$.

2. b)

D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Toujours d'après cette question, $u_n\leqslant\alpha$ pour tout $n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\alpha$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Points clés attendus

• Limite en $-1{,}5$ : composée $\ln(2x+3)$ avec $2x+3\to0^+$, puis somme.

• Étude de $g'$ : forme $\dfrac{u'}{u}$, mise au même dénominateur, signe justifié par $2x+3>0$.

• Théorème des valeurs intermédiaires sur $]-0{,}5\,;+\infty[$ : continuité, stricte monotonie, signes de $g$ aux bornes, d'où existence et unicité.

• Récurrence complète, en utilisant la croissance de $f$ sur l'intervalle et les égalités $f(-1)=-1$, $f(\alpha)=\alpha$.

• Conclure avec le théorème de la limite monotone : croissante et majorée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.