Bac 2023, Centres étrangers : exercice 3

Question 1. a)

Le repère est $\left(\mathrm{A}\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right)$ avec $\vec\imath=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\vec\jmath=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ et $\vec k=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}$.

Donc l'arête du cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ mesure $2$ unités : $\mathrm{B}(2\,;0\,;0)$, $\mathrm{D}(0\,;2\,;0)$, $\mathrm{E}(0\,;0\,;2)$, et par suite $\mathrm{C}(2\,;2\,;0)$, $\mathrm{F}(2\,;0\,;2)$, $\mathrm{H}(0\,;2\,;2)$.

Le point L est le milieu de $[\mathrm{BF}]$ et K le milieu de $[\mathrm{BC}]$ : le garage $\mathrm{BIJKLMNO}$ est un cube d'arête $1$ unité, accolé à la maison le long de la face $(\mathrm{BCGF})$, avec $\mathrm{I}$ sur la demi-droite $[\mathrm{AB})$ au-delà de $\mathrm{B}$.

On en déduit $\mathrm{I}(3\,;0\,;0)$, $\mathrm{L}(2\,;0\,;1)$, puis $\mathrm{M}(3\,;0\,;1)$ (au-dessus de I) et $\mathrm{N}(3\,;1\,;1)$ (décalé de $1$ selon $\vec\jmath$ par rapport à M).

On lit donc

Réponse : $\mathrm{H}(0\,;2\,;2)$, $\mathrm{M}(3\,;0\,;1)$, $\mathrm{N}(3\,;1\,;1)$.

1. b)

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{HM}}$ :

Ce vecteur est non nul : il dirige la droite $(\mathrm{HM})$, qui passe par $\mathrm{H}(0\,;2\,;2)$.

Une représentation paramétrique de $(\mathrm{HM})$ est donc

Vérification : pour $t=1$, on retrouve $(3\,;0\,;1)=\mathrm{M}$.

Réponse : $x=3t$, $y=2-2t$, $z=2-t$, avec $t\in\mathbb{R}$.

Question 2.

Les points $\mathrm{B}(2\,;0\,;0)$, $\mathrm{C}(2\,;2\,;0)$ et $\mathrm{F}(2\,;0\,;2)$ ont tous pour abscisse $2$.

Ils ne sont pas alignés : $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BF}}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires.

Donc le plan $(\mathrm{BCF})$ est le plan d'équation cartésienne $x=2$.

Le point P est l'intersection de $(\mathrm{HM})$ et de ce plan : ses coordonnées sont celles d'un point de la droite, pour la valeur de $t$ telle que $x=2$.

On résout $3t=2$, d'où $t=\dfrac23$.

On calcule alors les autres coordonnées :

Donc P a pour coordonnées $\left(2\,;\dfrac23\,;\dfrac43\right)$.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{PM}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PN}}$ :

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :

Donc $\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PN}}=\dfrac89$.

Réponse : $\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PN}}=\dfrac89$.

3. b)

Le repère est orthonormé, donc

Donc $\mathrm{PM}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}$.

Réponse : $\mathrm{PM}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\approx1{,}247$.

3. c)

On utilise l'expression du produit scalaire avec le cosinus :

Avec $\mathrm{PM}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}$ et $\mathrm{PN}=\dfrac{\sqrt{11}}{3}$ (admis), on obtient

La fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, et $\cos(55^\circ)\approx0{,}574$.

Comme $\cos\widehat{\mathrm{MPN}}\approx0{,}645>\cos(55^\circ)$, on a $\widehat{\mathrm{MPN}}<55^\circ$.

Plus précisément, $\widehat{\mathrm{MPN}}=\arccos\!\left(\dfrac{8}{\sqrt{154}}\right)\approx49{,}9^\circ$.

Donc l'angle $\widehat{\mathrm{MPN}}$ ne dépasse pas $55^\circ$ : le toit pourra être construit.

Réponse : $\widehat{\mathrm{MPN}}\approx49{,}9^\circ\leqslant55^\circ$, le toit pourra être construit.

Question 4.

On calcule le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{EN}}$, avec $\mathrm{E}(0\,;0\,;2)$ et $\mathrm{N}(3\,;1\,;1)$ :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{HM}}\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}$ dirige $(\mathrm{HM})$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : s'ils l'étaient, comme leurs premières coordonnées sont égales à $3$, le coefficient serait $1$ et on aurait $1=-2$, ce qui est faux.

Donc les droites $(\mathrm{HM})$ et $(\mathrm{EN})$ ne sont pas parallèles.

Une représentation paramétrique de $(\mathrm{EN})$ est

Un point commun correspond à des paramètres $t$ et $s$ vérifiant

La première équation donne $t=s$   la troisième donne aussi $t=s$.

On remplace dans la deuxième : $2-2t=t$, donc $t=\dfrac23$, et $s=\dfrac23$.

Le système admet donc une unique solution : les deux droites ont un point commun et ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes.

Les coordonnées du point d'intersection sont obtenues avec $t=\dfrac23$ :

Donc les droites $(\mathrm{HM})$ et $(\mathrm{EN})$ sont sécantes au point $\left(2\,;\dfrac23\,;\dfrac43\right)$, c'est-à-dire au point $\mathrm{P}$.

Réponse : les droites sont sécantes en $\mathrm{P}\left(2\,;\dfrac23\,;\dfrac43\right)$.

Points clés attendus

• Exploiter le repère $\left(\mathrm{A}\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right)$ : arête de la maison égale à $2$ unités, garage d'arête $1$.

• Pour P : équation du plan $(\mathrm{BCF})$ ($x=2$), puis résolution à partir de la représentation paramétrique de $(\mathrm{HM})$.

• Produit scalaire et normes calculés avec les coordonnées dans un repère orthonormé.

• Pour l'angle : formule $\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PN}}=\mathrm{PM}\times\mathrm{PN}\times\cos\widehat{\mathrm{MPN}}$, puis comparaison à $55^\circ$.

• Sécantes : non-colinéarité des vecteurs directeurs et système avec deux paramètres distincts $t$ et $s$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.