Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 1

Partie A

Question 1.

Le sens de variation de $f$ se lit sur le signe de $f'$ : $f$ est croissante là où $f'\geqslant0$ et décroissante là où $f'\leqslant0$.

Sur la courbe de $f'$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x$ inférieur à environ $0{,}4$, en dessous entre environ $0{,}4$ et environ $2{,}6$, puis de nouveau au-dessus au-delà de $2{,}6$.

Donc, avec des valeurs approchées, $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0{,}4]$, décroissante sur $[0{,}4\,;2{,}6]$ et croissante sur $[2{,}6\,;+\infty[$.

Question 2.

La fonction $f$ est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur cet intervalle.

Sur la courbe de $f'$ : elle est croissante jusqu'à $x=-1$ environ (maximum), décroissante entre $-1$ et $2$ (minimum), puis croissante pour $x\geqslant2$.

Donc $f$ semble convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1. a)

Pour tout $x\neq0$, $x^2-5x+6=x^2\left(1-\dfrac5x+\dfrac6{x^2}\right)$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac5x=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac6{x^2}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac5x+\dfrac6{x^2}\right)=1$, puis, par produit avec $x^2$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-5x+6\right)=+\infty$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 1. b)

En $-\infty$, le produit $\left(x^2-5x+6\right)\mathrm{e}^{x}$ présente une forme indéterminée « $+\infty\times0$ ». On développe : pour tout réel $x$,

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to-\infty}x^2\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$.

De plus $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2-5x+6$, $u'(x)=2x-5$, $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$.

Pour tout réel $x$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-3x+1\right)\mathrm{e}^{x}$.

Question 3.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que le trinôme $x^2-3x+1$.

Ce trinôme a pour discriminant $\Delta=(-3)^2-4\times1\times1=5>0$, donc deux racines réelles :

Le coefficient de $x^2$ est $1>0$, donc le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines et strictement négatif entre elles.

Donc $f'>0$ sur $]-\infty\,;x_1[$ et sur $]x_2\,;+\infty[$, et $f'<0$ sur $]x_1\,;x_2[$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;x_1]$, strictement décroissante sur $[x_1\,;x_2]$ et strictement croissante sur $[x_2\,;+\infty[$, avec $x_1=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$. Ce résultat est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.

Question 4.

La tangente $(\mathcal{T})$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

On a $f(0)=\left(0-0+6\right)\mathrm{e}^{0}=6$ et $f'(0)=\left(0-0+1\right)\mathrm{e}^{0}=1$.

Donc $(\mathcal{T})$ a pour équation $y=x+6$.

Réponse : $(\mathcal{T})\,:\ y=x+6$.

Question 5. a)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc $f''(x)=(x+1)(x-2)\mathrm{e}^{x}$ a le même signe que $(x+1)(x-2)$.

Ce trinôme a pour racines $-1$ et $2$ et un coefficient dominant positif : il est strictement positif sur $]-\infty\,;-1[$ et sur $]2\,;+\infty[$, et strictement négatif sur $]-1\,;2[$.

Donc $f''\geqslant0$ sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$, et $f''\leqslant0$ sur $[-1\,;2]$.

Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$, et concave sur $[-1\,;2]$. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $2$ : les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $-1$ et $2$ sont des points d'inflexion.

Question 5. b)

D'après la question 5. a), $f$ est concave sur $[-1\,;2]$, donc sur cet intervalle la courbe $\mathcal{C}$ est située en dessous de chacune de ses tangentes.

Le point d'abscisse $0$ appartient à $[-1\,;2]$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de sa tangente $(\mathcal{T})$ en ce point sur $[-1\,;2]$.

D'après la question 4, $(\mathcal{T})$ a pour équation $y=x+6$.

Donc, pour tout $x\in[-1\,;2]$, $f(x)\leqslant x+6$.

Points clés attendus

• Partie A : relier le signe de $f'$ aux variations de $f$ et la croissance de $f'$ à la convexité de $f$.

• Lever la forme indéterminée en $-\infty$ en développant puis en citant les croissances comparées.

• Justifier le signe de $f'$ par $\mathrm{e}^{x}>0$ et le signe du trinôme (discriminant, racines, signe à l'extérieur des racines).

• Pour la question 5. b), citer la position d'une courbe concave par rapport à ses tangentes et rappeler que $0\in[-1\,;2]$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.