Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2023, Asie : exercice 3

24 mars 2023 · jour 2 · 4 points Python

Chapitre 1 : Suites

Marie Sklodowska-Curie ( $1867-1934$ ) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en $1903$ et un en Chimie en $1911$ pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d'étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l'expérience, on dispose d'un morceau de $2$ g de polonium.

On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.

On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\,\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$   on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l'expérience.

Pour $n \geqslant 1,\, v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

1. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$ .
2. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a
  $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}.$
1. Démontrer, par récurrence sur $n$ , que $0 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n$ .
2. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente.
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par:
$u_n = v_n - 3 \times 10^{21}.$
1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $0,995$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$ .
3. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$ . Justifier la réponse.
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ .

Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.

1 def noyaux (n) :
2 V =6*10**21
3 L=[V]
4 for k in range (n):
5 V= ...
6 L.append(V)
7 return L
1. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu'elle réponde au problème.
2. Pour quelle valeur de l'entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l'échantillon de polonium pendant 52 semaines d'étude ?

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Question 1. a)

Le morceau de polonium pèse $2$ g et $1$ g de polonium contient $3\times10^{21}$ noyaux.

Le nombre de noyaux est proportionnel à la masse, donc

v_0=2\times3\times10^{21}=6\times10^{21}.

Donc $v_0=6\times10^{21}$ .

1. b)

Soit $n$ un entier naturel. Au bout d'un jour, $0{,}5\,\%$ des noyaux se sont désintégrés.

Il reste donc $100\,\%-0{,}5\,\%=99{,}5\,\%$ des noyaux, c'est-à-dire

\left(1-\dfrac{0{,}5}{100}\right)v_n=0{,}995\,v_n.

On ajoute ensuite $0{,}005$ g de polonium. Comme $1$ g contient $3\times10^{21}$ noyaux, cela représente

0{,}005\times3\times10^{21}=1{,}5\times10^{19}\ \text{noyaux}.

Donc, pour tout entier naturel $n$ ,

v_{n+1}=0{,}995\,v_n+1{,}5\times10^{19}.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$ , on note $P(n)$ la propriété $0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n$ .

Initialisation.

On a $v_0=6\times10^{21}$ et

v_1=0{,}995\times6\times10^{21}+1{,}5\times10^{19}=5{,}97\times10^{21}+0{,}015\times10^{21}=5{,}985\times10^{21}.

Donc $0\leqslant5{,}985\times10^{21}\leqslant6\times10^{21}$ , c'est-à-dire $0\leqslant v_1\leqslant v_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

0\leqslant v_{k+1}\leqslant v_k\quad\text{(hypothèse de récurrence)}.

Montrons $P(k+1)$ , c'est-à-dire $0\leqslant v_{k+2}\leqslant v_{k+1}$ .

On multiplie chaque membre de l'hypothèse de récurrence par $0{,}995>0$ , ce qui conserve le sens des inégalités :

0\leqslant0{,}995\,v_{k+1}\leqslant0{,}995\,v_k.

On ajoute $1{,}5\times10^{19}$ à chaque membre :

1{,}5\times10^{19}\leqslant0{,}995\,v_{k+1}+1{,}5\times10^{19}\leqslant0{,}995\,v_k+1{,}5\times10^{19}.

D'après la relation de récurrence établie à la question 1. b), cela s'écrit

1{,}5\times10^{19}\leqslant v_{k+2}\leqslant v_{k+1}.

Comme $0\leqslant1{,}5\times10^{19}$ , on en déduit $0\leqslant v_{k+2}\leqslant v_{k+1}$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n$ .

2. b)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}\leqslant v_n$ : la suite $(v_n)$ est décroissante.

De plus, pour tout $n$ , $v_{n+1}\geqslant0$ , et $v_0>0$ : la suite $(v_n)$ est minorée par $0$ .

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(v_n)$ est convergente.

Question 3. a)

Soit $n$ un entier naturel. On a $u_n=v_n-3\times10^{21}$ , donc $u_{n+1}=v_{n+1}-3\times10^{21}$ .

On remplace $v_{n+1}$ par son expression :

\begin{aligned} u_{n+1}&=0{,}995\,v_n+1{,}5\times10^{19}-3\times10^{21}\\ &=0{,}995\,v_n-2{,}985\times10^{21}. \end{aligned}

On factorise par $0{,}995$ , en remarquant que $0{,}995\times3\times10^{21}=2{,}985\times10^{21}$ :

u_{n+1}=0{,}995\left(v_n-3\times10^{21}\right)=0{,}995\,u_n.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}995$ .

3. b)

Le premier terme de $(u_n)$ est $u_0=v_0-3\times10^{21}=6\times10^{21}-3\times10^{21}=3\times10^{21}$ .

Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ vérifie $u_n=u_0q^n$ , donc

u_n=3\times10^{21}\times0{,}995^n.

Or $v_n=u_n+3\times10^{21}$ , donc

v_n=3\times10^{21}\times0{,}995^n+3\times10^{21}=3\times10^{21}\left(0{,}995^n+1\right).

3. c)

On a $-1<0{,}995<1$ , donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}995^n=0$ .

Par somme et produit par une constante,

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3\times10^{21}\times(0+1)=3\times10^{21}.

Donc la suite $(v_n)$ converge vers $3\times10^{21}$ .

Interprétation : à long terme, le nombre de noyaux de l'échantillon se stabilise autour de $3\times10^{21}$ , ce qui correspond à $1$ g de polonium.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3\times10^{21}$ .

Question 4.

On résout l'inéquation $v_n<4{,}5\times10^{21}$ :

\begin{aligned} v_n<4{,}5\times10^{21}&\iff3\times10^{21}\left(0{,}995^n+1\right)<4{,}5\times10^{21}\\ &\iff0{,}995^n+1<1{,}5\\ &\iff0{,}995^n<0{,}5. \end{aligned}

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}995^n<0{,}5\iff n\ln(0{,}995)<\ln(0{,}5).

Or $0{,}995<1$ , donc $\ln(0{,}995)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change :

n>\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}995)}\approx138{,}3.

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette condition est $n=139$ .

Vérification : $0{,}995^{138}\approx0{,}5007>0{,}5$ et $0{,}995^{139}\approx0{,}4982<0{,}5$ .

Donc c'est au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium devient inférieur à $4{,}5\times10^{21}$ .

Réponse : $n=139$ jours.

Question 5. a)

À chaque passage dans la boucle, la variable V contient $v_k$ avant l'instruction de la ligne 5 et doit contenir $v_{k+1}$ après.

Première solution, avec la relation de récurrence de la question 1. b) :

V = 0.995*V + 1.5*10**19

Seconde solution, avec l'expression explicite de la question 3. b) : à l'itération $k$ (avec $k$ de $0$ à $n-1$ ), on calcule $v_{k+1}$ :

V = 3*10**21*(0.995**(k+1) + 1)

Donc ces deux instructions conviennent pour compléter la ligne 5.

5. b)

La liste L contient d'abord $v_0$ , puis un nouveau terme ajouté à chacun des $n$ passages dans la boucle : noyaux(n) renvoie $v_0,v_1,\dots,v_n$ .

$52$ semaines représentent $52\times7=364$ jours.

Pour obtenir les relevés quotidiens sur ces $364$ jours, soit $v_1,\dots,v_{364}$ (en plus de $v_0$ ), il faut $n=364$ .

Donc la commande noyaux(364) convient.

Réponse : $n=364$ .

Points clés attendus

Traduire correctement la situation : pourcentage de diminution (coefficient $0{,}995$ ) puis conversion de $0{,}005$ g en nombre de noyaux.
Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion) en justifiant la conservation des inégalités.
Citer le théorème de la limite monotone : suite décroissante et minorée.
Pour la suite géométrique, calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et factoriser par $0{,}995$ .
Résoudre l'inéquation avec $\ln$ en changeant le sens de l'inégalité (division par $\ln(0{,}995)<0$ ), puis conclure par un entier.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Asie, 24 mars 2023 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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1	def noyaux (n) :
2	V =610*21
3	L=[V]
4	for k in range (n):
5	V= ...
6	L.append(V)
7	return L