Bac 2022, Polynésie : exercice 4

Question 1. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

On calcule leur produit scalaire :

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et leur produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux.

Donc le triangle ABC est rectangle en A.

Question 1. b)

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ :

Produit scalaire :

Le repère est orthonormal, donc les longueurs se calculent avec la formule de la norme :

Réponse : $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=11$, $BA=\sqrt{11}$, $BC=\sqrt{77}$.

Question 1. c)

Par définition du produit scalaire, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos\widehat{ABC}$. Donc

Or $\sqrt{11}\times\sqrt{77}=\sqrt{11\times77}=\sqrt{11\times11\times7}=11\sqrt7$. Donc

À la calculatrice, $\widehat{ABC}=\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt7}\right)\approx67{,}79^\circ$.

Donc la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré, est $68^\circ$.

Réponse : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{1}{\sqrt7}$ et $\widehat{ABC}\approx68^\circ$.

Question 2. a)

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x-y-z+4=0$ : le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

On calcule les produits scalaires de $\vec n$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}(-1\,;1\,;-3)$ et $\overrightarrow{AC}(4\,;7\,;1)$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : $\dfrac{-1}{4}\neq\dfrac{1}{7}$). Ils dirigent donc le plan (ABC), et $\vec n$ est orthogonal à ces deux vecteurs directeurs.

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (ABC). Les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) ont le même vecteur normal : ils sont parallèles.

Question 2. b)

Les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont parallèles, donc le vecteur $\vec n(2\,;-1\,;-1)$ est normal à (ABC). Une équation de (ABC) est de la forme

Le point A$(2\,;-1\,;0)$ appartient à (ABC) : $2\times2-(-1)-0+d=0$, soit $5+d=0$, donc $d=-5$.

Une équation de (ABC) est donc $2x-y-z-5=0$.

Vérification avec les autres points : pour B$(1\,;0\,;-3)$, $2-0+3-5=0$   pour C$(6\,;6\,;1)$, $12-6-1-5=0$.

Réponse : (ABC) : $2x-y-z-5=0$.

Question 2. c)

La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan (ABC), donc le vecteur normal $\vec n(2\,;-1\,;-1)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. De plus $\mathcal{D}$ passe par E$(1\,;2\,;4)$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{EM}=t\,\vec n$ avec $t\in\mathbb{R}$, ce qui donne la représentation paramétrique

Question 2. d)

Le projeté orthogonal H de E sur le plan (ABC) est le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ (perpendiculaire à (ABC) passant par E) et du plan (ABC).

On remplace $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de (ABC) :

On développe : $2+4t-2+t-4+t-5=6t-9$. Donc

On reporte $t=\dfrac32$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ :

Donc le projeté orthogonal de E sur le plan (ABC) est H$\left(4\,;\dfrac12\,;\dfrac52\right)$.

Question 3.

Aire du triangle ABC. Le triangle ABC est rectangle en A, donc son aire est $\mathcal{B}=\dfrac12\times AB\times AC$.

On a $AB=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{11}$ et $AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$. Donc

Hauteur. H est le projeté orthogonal de E sur le plan (ABC), donc la hauteur de la pyramide ABCE relative à la base ABC est $h=EH$.

On a $\overrightarrow{EH}\begin{pmatrix}4-1\\\frac12-2\\\frac52-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-\frac32\\-\frac32\end{pmatrix}$, donc

Volume. D'après la formule $\mathcal{V}=\dfrac13\mathcal{B}h$ :

Donc l'aire du triangle ABC est $\dfrac{11\sqrt6}{2}$ unités d'aire et le volume de la pyramide ABCE est égal à $16{,}5$ unités de volume.

Réponse : $\mathcal{B}=\dfrac{11\sqrt6}{2}$ et $\mathcal{V}=\dfrac{33}{2}=16{,}5$.

Points clés attendus

• Triangle rectangle : calculer les coordonnées des vecteurs et le produit scalaire, et conclure par l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls.

• Angle : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\times BC}$, puis valeur approchée arrondie au degré.

• Plans parallèles : un même vecteur normal, avec la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ justifiée.

• Équation de plan : déterminer $d$ avec les coordonnées de A et vérifier avec B et C.

• Projeté orthogonal : intersection de la droite perpendiculaire et du plan, en résolvant l'équation en $t$.

• Volume : identifier la hauteur $EH$ et citer la formule $\dfrac13\mathcal{B}h$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.