Bac 2022, Polynésie : exercice 1

Question 1. Réponse d.

La fonction $g$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=x^2+x+1$.

La fonction $u$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (fonction polynôme) et, pour tout $x>0$, $u(x)=x^2+x+1>0$. Donc $g=\ln(u)$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

D'après la formule de dérivation d'une composée $\ln(u)$, on a $g'=\dfrac{u'}{u}$.

Or $u'(x)=2x+1$. Donc, pour tout $x>0$ :

Les propositions a, b et c sont fausses : elles ne contiennent pas le facteur $u'(x)=2x+1$ au numérateur et $u(x)$ au dénominateur, comme l'exige la formule $\dfrac{u'}{u}$.

Donc la dérivée de $g$ est la fonction de la proposition d.

Réponse : d. $g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$.

Question 2. Réponse c.

Il suffit de dériver la fonction proposée. Soit $F(x)=x\ln(x)-x$ sur $]0\,;+\infty[$.

La fonction $F$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$ :

Donc $F$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.

Les autres propositions sont à écarter : la proposition a a pour dérivée $\dfrac1x\neq\ln(x)$, la proposition b a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2}\neq\ln(x)$, la proposition d a pour dérivée $\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\neq\ln(x)$.

Donc la fonction $x\longmapsto x\ln(x)-x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.

Réponse : c. $x\longmapsto x\ln(x)-x$.

Question 3. Réponse a.

Pour tout entier naturel $n$, on met $3^n$ en facteur au numérateur et $2^n$ en facteur au dénominateur :

On étudie chaque facteur.

Comme $\dfrac32>1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac32\right)^n=+\infty$.

Comme $-1<\dfrac13<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac13\right)^n=0$. De même, comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$.

Par quotient, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\left(\frac13\right)^n-1}{\left(\frac12\right)^n+1}=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$.

Par produit d'une suite de limite $+\infty$ et d'une suite de limite $-1<0$ :

Donc la suite $\left(a_n\right)$ a pour limite $-\infty$.

Réponse : a. $-\infty$.

Question 4. Réponse d.

La convexité de $f$ se lit sur les variations de $f'$ : $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$, et $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$.

D'après le tableau, $f'$ est décroissante sur $[-2\,;0]$ (elle passe de $1$ à $-2$, en s'annulant en $-1$), puis croissante sur $[0\,;2]$ (elle passe de $-2$ à $-1$).

Donc $f$ est concave sur $[-2\,;0]$ et convexe sur $[0\,;2]$.

On élimine les autres propositions :

• a est fausse : $f'$ est décroissante sur $[-2\,;-1]$, donc $f$ est concave (et non convexe) sur cet intervalle

• b est fausse : $f'$ est croissante sur $[0\,;1]$, donc $f$ est convexe (et non concave) sur cet intervalle

• c est fausse : $f'$ est décroissante sur $[-1\,;0]\subset[-1\,;2]$, donc $f$ n'est pas convexe sur $[-1\,;2]$.

Donc $f$ est concave sur $[-2\,;0]$.

Réponse : d. $f$ est concave sur $[-2\,;0]$.

Question 5. Réponse c.

Les variations de $f$ se déduisent du signe de $f'$, que l'on lit sur la courbe : $f'$ est positive lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

D'après la courbe, $f'$ s'annule en $-1$, en $1$ et en $3$, et on a :

• $f'(x)\leqslant0$ sur $[-2\,;-1]$

• $f'(x)\geqslant0$ sur $[-1\,;1]$

• $f'(x)\leqslant0$ sur $[1\,;3]$

• $f'(x)\geqslant0$ sur $[3\,;4]$.

Donc $f$ est croissante sur $[0\,;1]$ puis décroissante sur $[1\,;2]$ : sur $[0\,;2]$, $f$ admet un maximum atteint en $1$.

On élimine les autres propositions :

• a est fausse : $f$ est croissante sur $[0\,;1]$, donc elle n'est pas décroissante sur $[0\,;2]$

• b est fausse : $f'\geqslant0$ sur $[-1\,;0]$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle

• d est fausse : $f'$ est négative sur $[2\,;3]$ puis positive sur $[3\,;4]$, donc $f$ décroît puis croît : en $3$, $f$ admet un minimum (et non un maximum) sur $[2\,;4]$.

Donc $f$ admet un maximum en $1$ sur $[0\,;2]$.

Réponse : c.

Question 6. Réponse a.

Chaque mois, la valeur est multipliée par $1{,}03$ (augmentation de $3\,\%$). On veut le nombre de mois $m$ à attendre pour que la valeur dépasse $200$ euros. La fonction doit donc :

• initialiser $m=0$ et $v=57$

• répéter tant que $v<200$ : augmenter $m$ de $1$ et multiplier $v$ par $1{,}03$

• renvoyer $m$, le nombre de passages dans la boucle.

C'est exactement ce que fait la proposition a. À la sortie de la boucle, on a $v\geqslant200$ pour la première fois, et la fonction renvoie le nombre de mois écoulés (on trouve $43$ : $57\times1{,}03^{42}\approx197{,}26<200$ et $57\times1{,}03^{43}\approx203{,}18>200$).

On élimine les autres propositions :

• b est fausse : la condition $v>200$ est fausse dès le départ ($57>200$ est faux), donc on ne rentre jamais dans la boucle et la fonction renvoie $0$

• c est fausse : la boucle for effectue $200$ multiplications quoi qu'il arrive et la fonction renvoie une valeur en euros et non un nombre de mois

• d est fausse : il n'y a pas de boucle, donc le test n'est effectué qu'une seule fois, et la fonction renvoie $1$.

Donc la fonction seuil() de la proposition a renvoie le nombre de mois cherché.

Réponse : a.

Points clés attendus

• Dériver une fonction composée $\ln(u)$ avec la formule $\dfrac{u'}{u}$ et vérifier $u>0$.

• Pour une primitive, dériver la fonction proposée et retrouver la fonction de départ.

• Limite d'une suite : mettre en facteur les termes dominants, citer les limites de $q^n$ selon la valeur de $q$.

• Convexité : relier le sens de variation de $f'$ à la convexité ou à la concavité de $f$.

• Lecture graphique : relier le signe de $f'$ aux variations de $f$ pour repérer maximum et minimum.

• Algorithme : condition de la boucle while, initialisation et valeur renvoyée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.