Bac 2022, Polynésie : exercice 2

Données de l'énoncé. On traduit les données en probabilités :

• $7\,\%$ des habitants sont malades : $P(M)=0{,}07$, donc $P\left(\overline{M}\right)=1-0{,}07=0{,}93$

• pour les individus malades, le test est négatif dans $20\,\%$ des cas : $P_M\left(\overline{T}\right)=0{,}2$, donc $P_M(T)=1-0{,}2=0{,}8$

• pour les individus sains, le test est positif dans $1\,\%$ des cas : $P_{\overline{M}}(T)=0{,}01$.

Question 1.

L'évènement $M\cap T$ est « la personne est malade et son test est positif ».

D'après la formule de la probabilité d'une intersection :

Donc la probabilité que la personne soit malade et ait un test positif est $0{,}056$.

Réponse : $P(M\cap T)=0{,}056$.

Question 2.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers).

D'après la formule des probabilités totales :

On a $P(M\cap T)=0{,}056$ d'après la question 1, et

Donc

Donc la probabilité que le test de la personne choisie soit positif est bien $0{,}0653$.

Question 3.

$P_M(T)$ est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade : elle mesure la capacité du test à détecter les malades (sensibilité du test).

$P_T(M)$ est la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif.

Dans un contexte de dépistage, on teste des personnes dont on ignore si elles sont malades. Ce qui intéresse une personne dont le test est positif est de savoir avec quelle probabilité elle est réellement malade : c'est $P_T(M)$.

Donc il est plus pertinent de connaître $P_T(M)$.

Question 4.

On cherche $P_T(M)$. D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(T)\neq0$) :

Arrondie à $10^{-2}$ près, cette probabilité est $0{,}86$.

Donc, sachant que son test est positif, la personne est malade avec une probabilité d'environ $0{,}86$.

Réponse : $P_T(M)=\dfrac{0{,}056}{0{,}0653}\approx0{,}86$.

Question 5. a)

On choisit $10$ personnes au hasard, et la population est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On a donc la répétition de $10$ épreuves identiques et indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : « le test est positif » (succès) de probabilité $P(T)=0{,}0653$ d'après la question 2, ou « le test est négatif ».

$X$ est le nombre de succès : $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}0653$, notée $\mathcal{B}(10\,;0{,}0653)$.

Réponse : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;0{,}0653)$.

Question 5. b)

Pour une loi binomiale, $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Donc

Arrondie à $10^{-2}$ près, cette probabilité est $0{,}11$.

Donc la probabilité qu'exactement deux personnes aient un test positif est d'environ $0{,}11$.

Réponse : $P(X=2)\approx0{,}11$.

Question 6.

Soit $n$ le nombre de personnes testées et $Y$ le nombre de tests positifs. Pour les mêmes raisons qu'à la question 5. a), $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}0653)$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(Y\geqslant1)>0{,}99$.

L'évènement « $Y\geqslant1$ » est le contraire de « $Y=0$ », et $P(Y=0)=0{,}9347^n$. Donc

On résout :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $0{,}9347<1$, on a $\ln(0{,}9347)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier convenable est $n=69$.

Vérification : pour $n=68$, $1-0{,}9347^{68}\approx0{,}9899<0{,}99$   pour $n=69$, $1-0{,}9347^{69}\approx0{,}9905>0{,}99$.

Donc il faut tester au minimum $69$ personnes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif soit supérieure à $99\,\%$.

Réponse : $n=69$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités nommées ($P(M)$, $P_M(\overline{T})$, $P_{\overline{M}}(T)$) et en déduire $P_M(T)=0{,}8$.

• Citer la partition $\left\{M\,;\overline{M}\right\}$ avant d'appliquer la formule des probabilités totales.

• Distinguer $P_M(T)$ et $P_T(M)$ et justifier le choix en contexte de dépistage.

• Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli de paramètre $0{,}0653$ (tirage assimilé à un tirage avec remise).

• Pour le seuil, passer par l'évènement contraire, utiliser la croissance de $\ln$ et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}9347)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.