Bac 2022, Polynésie : exercice 4

Question 1. a)

Dans le repère $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$, on a $\mathrm{B}(1\,;0\,;0)$, $\mathrm{D}(0\,;1\,;0)$ et $\mathrm{E}(0\,;0\,;1)$. On en déduit :

Question 1. b)

On calcule deux vecteurs du plan (CFI) coordonnée par coordonnée :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{CI}}$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ n'est pas le vecteur nul. Donc C, F, I définissent bien un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ :

Le vecteur $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFI). Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (CFI).

Question 1. c)

Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ étant normal au plan (CFI), ce plan admet une équation de la forme $x+2y+2z+d=0$.

Le point C appartient au plan : $1+2\times 1+2\times 0+d=0$, donc $d=-3$.

Une équation cartésienne de (CFI) est donc $x+2y+2z-3=0$.

Vérification avec les autres points du plan :

• F : $1+2\times 0+2\times 1-3=0$

• I : $0+2\times\tfrac12+2\times 1-3=0$.

Donc le plan (CFI) a pour équation cartésienne $x+2y+2z-3=0$.

Question 2. a)

La droite $d$ est orthogonale au plan (CFI), donc le vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$. La droite passe par $\mathrm{G}(1\,;1\,;1)$.

Une représentation paramétrique de $d$ est donc

Réponse : $d$ : $x=1+t$, $y=1+2t$, $z=1+2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 2. b)

Le projeté orthogonal de G sur le plan (CFI) est le point d'intersection de la droite $d$ (perpendiculaire au plan passant par G) et du plan.

Pour le point de $d$ de paramètre $t$, l'équation du plan donne :

Pour $t=-\dfrac29$, on obtient :

Donc le point K$\left(\dfrac79\,;\dfrac59\,;\dfrac59\right)$ est le point d'intersection de $d$ et du plan (CFI) : c'est le projeté orthogonal de G sur le plan (CFI).

Question 2. c)

La distance de G au plan (CFI) est la distance GK.

On calcule $\overrightarrow{\mathrm{GK}}\begin{pmatrix}\frac79-1\\\frac59-1\\\frac59-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac29\\-\frac49\\-\frac49\end{pmatrix}$, donc

Donc la distance du point G au plan (CFI) est égale à $\dfrac23$.

Question 3. a)

On choisit pour base le triangle CFG et on cherche la hauteur de la pyramide issue de I.

Le triangle CFG est rectangle en G, avec $\mathrm{GC}=\mathrm{GF}=1$ (arêtes du cube de côté 1). Son aire vaut

Les points C, F, G ont pour abscisse $1$ : ils sont dans le plan (BCGF) d'équation $x=1$. Le point I a pour abscisse $0$, donc la distance de I à ce plan est $1$. C'est la hauteur associée à la base CFG.

D'après la formule du volume d'une pyramide :

Donc le volume de la pyramide GCFI est $\dfrac16$ unité de volume.

Question 3. b)

On prend maintenant pour base le triangle CFI. La hauteur associée est la distance de G au plan (CFI), soit $\dfrac23$ d'après la question 2. c).

Soit $\mathcal{A}$ l'aire du triangle CFI. Le volume étant le même, on a

Donc l'aire du triangle CFI est $\dfrac34$ unité d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=\dfrac34$.

Points clés attendus

• Calculer les coordonnées des vecteurs, justifier leur non-colinéarité, puis montrer l'orthogonalité de $\vec n$ à deux vecteurs du plan.

• Déterminer le coefficient $d$ de l'équation cartésienne avec un point du plan, puis vérifier avec les autres points.

• Justifier que K est le projeté orthogonal : intersection de la perpendiculaire passant par G et du plan.

• Calculer le volume de deux manières, en changeant de base, pour en déduire l'aire de CFI.

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