Bac 2022, Polynésie : exercice 1

Partie 1

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

• un quart des angines nécessite des antibiotiques : $P(A)=\dfrac14=0{,}25$, donc $P\left(\overline{A}\right)=\dfrac34=0{,}75$

• si l'angine nécessite des antibiotiques, le test est positif dans $90\,\%$ des cas : $P_A(T)=0{,}9$, donc $P_A\left(\overline{T}\right)=0{,}1$

• si l'angine n'en nécessite pas, le test est négatif dans $95\,\%$ des cas : $P_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right)=0{,}95$, donc $P_{\overline{A}}(T)=0{,}05$.

Question 1.

D'après la formule des probabilités composées :

Donc la probabilité que le patient soit atteint d'une angine nécessitant des antibiotiques et que son test soit positif est $0{,}225$.

Réponse : $P(A\cap T)=0{,}225$.

Question 2.

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier.

D'après la formule des probabilités totales :

On a déjà $P(A\cap T)=0{,}225$.

Par la formule des probabilités composées :

Donc

Donc la probabilité que le test soit positif est bien $P(T)=0{,}2625$.

Question 3.

On cherche la probabilité de $A$ sachant $T$. Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(T)\neq 0$) :

Donc $P_T(A)=\dfrac67\approx 0{,}8571$ (arrondie à $10^{-4}$ près) : sachant que le test est positif, la probabilité que le patient soit atteint d'une angine nécessitant des antibiotiques est environ $0{,}8571$.

Réponse : $P_T(A)=\dfrac67\approx 0{,}8571$.

Question 4. a)

Le test est erroné dans deux situations :

• il est positif alors que l'angine ne nécessite pas d'antibiotiques : c'est l'évènement $\overline{A}\cap T$

• il est négatif alors que l'angine nécessite des antibiotiques : c'est l'évènement $A\cap\overline{T}$.

Les évènements $A\cap T$ et $\overline{A}\cap\overline{T}$ correspondent à un résultat correct du test.

Donc les évènements correspondant à un résultat erroné sont $\overline{A}\cap T$ et $A\cap\overline{T}$.

Réponse : $\overline{A}\cap T$ et $A\cap\overline{T}$.

Question 4. b)

D'après la question précédente :

Ces deux évènements sont incompatibles (ils sont contenus respectivement dans $\overline{A}$ et dans $A$, qui sont disjoints). Donc

On a $P\left(\overline{A}\cap T\right)=0{,}0375$ (question 2) et

Donc

Donc la probabilité que le test fournisse un résultat erroné est bien $p(E)=0{,}0625$.

Partie 2

Question 1. a)

On considère comme épreuve de Bernoulli le choix d'un patient testé, le succès étant « le test de ce patient est erroné », de probabilité $p(E)=0{,}0625$ d'après la partie 1.

Le choix de l'échantillon est assimilé à un tirage avec remise : les $n=50$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $50$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité $p=0{,}0625$.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}0625)$.

Question 1. b)

Pour $X$ suivant $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}0625)$ :

À la calculatrice : $P(X=7)\approx 0{,}0232$ (arrondie à $10^{-4}$ près).

Donc la probabilité qu'exactement $7$ patients de l'échantillon aient un test erroné est environ $0{,}0232$.

Réponse : $P(X=7)\approx 0{,}0232$.

Question 1. c)

L'évènement « il y a au moins un patient dont le test est erroné » est $\{X\geqslant 1\}$, de contraire $\{X=0\}$. Donc

À la calculatrice : $0{,}9375^{50}\approx 0{,}0397$, donc $P(X\geqslant 1)\approx 0{,}9603$ (arrondie à $10^{-4}$ près).

Donc la probabilité qu'au moins un patient de l'échantillon ait un test erroné est environ $0{,}9603$.

Réponse : $P(X\geqslant 1)=1-0{,}9375^{50}\approx 0{,}9603$.

Question 2.

Ici $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}0625)$, pour la même raison qu'à la question 1. a), avec $n$ épreuves.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\geqslant 10)>0{,}95$.

Monotonie en $n$. Notons $X_n$ le nombre de tests erronés dans un échantillon de taille $n$. Un échantillon de taille $n+1$ s'obtient en ajoutant un patient : $X_{n+1}$ vaut $X_n$ ou $X_n+1$, donc $X_{n+1}\geqslant X_n$. Ainsi l'évènement $\{X_n\geqslant 10\}$ est inclus dans $\{X_{n+1}\geqslant 10\}$, et la suite $\left(P(X_n\geqslant 10)\right)$ est croissante. Il suffit donc de trouver la première valeur de $n$ pour laquelle on dépasse $0{,}95$.

À la calculatrice (ou avec Python), en calculant $P(X\geqslant 10)=1-P(X\leqslant 9)$ :

• pour $n=247$ : $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}9486<0{,}95$

• pour $n=248$ : $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}9502>0{,}95$.

Par croissance, pour tout $n\leqslant 247$ on a $P(X\geqslant 10)\leqslant 0{,}9486<0{,}95$, et pour tout $n\geqslant 248$ on a $P(X\geqslant 10)\geqslant 0{,}9502>0{,}95$.

Donc la taille minimale de l'échantillon pour que $P(X\geqslant 10)$ soit supérieure à $0{,}95$ est $n=248$.

Réponse : $n=248$.

Points clés attendus

• Traduire les pourcentages de l'énoncé en $P(A)$, $P_A(T)$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right)$, puis en déduire les probabilités complémentaires.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A\,;\overline{A}\}$, et la définition de la probabilité conditionnelle pour la question 3.

• Identifier les deux évènements incompatibles qui composent $E$ et ajouter leurs probabilités.

• Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), probabilité de succès $0{,}0625$.

• Pour « au moins un », passer par l'évènement contraire $\{X=0\}$.

• Pour la taille minimale, justifier la croissance de $n\mapsto P(X\geqslant 10)$ ou encadrer entre $n=247$ et $n=248$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.