Bac 2022, Polynésie : exercice 2

Partie 1

Question 1. a)

La fonction $f$ est définie sur $[0\,;1]$ par $f(x)=1{,}9x(1-x)=1{,}9x-1{,}9x^2$. C'est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0\,;1]$.

Pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Comme $1{,}9>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1-2x$ :

Donc $f'(x)>0$ sur $\left[0\,;\dfrac12\right[$, $f'\left(\dfrac12\right)=0$ et $f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac12\,;1\right]$.

Valeurs aux points remarquables :

Donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$ (de $0$ à $0{,}475$), puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac12\,;1\right]$ (de $0{,}475$ à $0$).

Question 1. b)

D'après les variations de $f$, son minimum sur $[0\,;1]$ est $0$ (atteint en $0$ et en $1$) et son maximum est $0{,}475$ (atteint en $\dfrac12$).

Donc, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Donc si $x\in[0\,;1]$, alors $f(x)\in[0\,;1]$.

Question 2.

Sur la figure, on lit $u_0=0{,}1$, $u_1\approx 0{,}171$, $u_2\approx 0{,}269$ et $u_3\approx 0{,}374$.

Ces termes sont rangés dans l'ordre croissant, et les marches de l'escalier se rapprochent du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$, dont l'abscisse est un peu inférieure à $0{,}5$.

Donc on conjecture que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et qu'elle converge vers une limite proche de $0{,}47$.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

Initialisation. On a $u_0=0{,}1$ et $u_1=1{,}9\times 0{,}1\times\left(1-0{,}1\right)=1{,}9\times 0{,}1\times 0{,}9=0{,}171$.

Donc $0\leqslant 0{,}1\leqslant 0{,}171\leqslant\dfrac12$, c'est-à-dire $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant\dfrac12$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

(hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

Les réels $0$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $\dfrac12$ appartiennent à l'intervalle $\left[0\,;\dfrac12\right]$, sur lequel $f$ est croissante d'après la question 1. a).

On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $f(0)=0$, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$, $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$ et $f\left(\dfrac12\right)=0{,}475$. Donc

Comme $0{,}475\leqslant\dfrac12$, on obtient

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac12$.

Question 3. b)

D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. De plus, $u_n\leqslant\dfrac12$ pour tout $n$ : elle est majorée par $\dfrac12$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Question 3. c)

Notons $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.

La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, $u_n\geqslant u_0=0{,}1$ pour tout $n$, donc par passage à la limite dans l'inégalité, $\ell\geqslant 0{,}1$. De même $\ell\leqslant\dfrac12$. Ainsi $\ell\in\left[0{,}1\,;\dfrac12\right]\subset[0\,;1]$.

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;1]$ (fonction polynôme), et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $u_n\in[0\,;1]$. Par continuité de $f$, en passant à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$, on obtient $\ell=f(\ell)$.

On résout cette équation :

Or $1-1{,}9\,(1-\ell)=0\iff 1-\ell=\dfrac1{1{,}9}\iff\ell=1-\dfrac{10}{19}=\dfrac{9}{19}$.

Comme $\ell\geqslant 0{,}1>0$, la valeur $\ell=0$ est exclue.

Donc la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ell=\dfrac9{19}\approx 0{,}474$, ce qui est cohérent avec la conjecture de la question 2.

Réponse : $\ell=\dfrac9{19}\approx 0{,}474$.

Partie 2

Question 1.

On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

La suite $\left(\left(\dfrac12\right)^n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ avec $-1<\dfrac12<1$ : elle converge vers $0$.

On a donc l'encadrement $0\leqslant u_n\leqslant\left(\dfrac12\right)^n$, la suite constante nulle et la suite $\left(\left(\dfrac12\right)^n\right)$ ayant toutes deux pour limite $0$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $\left(u_n\right)$ converge et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Réponse : $\left(u_n\right)$ converge vers $0$.

Question 2.

Soit $p$ un entier naturel non nul. Le réel $10^{-p}$ est strictement positif.

D'après la question 1, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$. Par définition de la limite, l'intervalle $\left]-10^{-p}\,;10^{-p}\right[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang $N$. En particulier, pour tout $n\geqslant N$ : $u_n<10^{-p}$.

Dans la fonction algo(p), la variable u prend successivement les valeurs $u_0$, $u_1$, $u_2$, ... et la variable n vaut à chaque passage l'indice du terme contenu dans u.

La condition de la boucle while u > 10**(-p) devient donc fausse dès que n atteint la valeur $N$ (au plus). La boucle s'exécute donc un nombre fini de fois.

Donc la boucle while ne tourne pas indéfiniment, et algo(p) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant 10^{-p}$.

Points clés attendus

• Étudier $f$ avec le signe de $f'$ et donner les valeurs $f(0)$, $f\left(\dfrac12\right)$, $f(1)$ pour déduire que $f([0\,;1])\subset[0\,;1]$.

• Dans l'hérédité, citer la croissance de $f$ sur $\left[0\,;\dfrac12\right]$ et vérifier que les termes y appartiennent bien.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée) puis passer à la limite dans $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ en invoquant la continuité de $f$.

• Écarter la solution $\ell=0$ en utilisant $\ell\geqslant u_0=0{,}1$.

• Citer le théorème des gendarmes avec $-1<\dfrac12<1$ dans la partie 2.

• Pour l'algorithme, relier la limite nulle de la suite à l'arrêt de la boucle while.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.