Bac 2022, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question 2. a)

La fonction $f=\dfrac{u}{v}$ avec, pour $x\geqslant1$ :

On utilise la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ (le dénominateur $x$ ne s'annule pas sur $[1\,;+\infty[$) :

Donc, pour tout réel $x\geqslant1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

Question 2. b)

Pour tout $x\geqslant1$, $x^2>0$. Donc $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$.

Par stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ :

et $1-\ln x=0\iff x=\mathrm{e}$.

On en déduit :

• $f'(x)>0$ pour $x\in[1\,;\mathrm{e}[$

• $f'(\mathrm{e})=0$

• $f'(x)<0$ pour $x\in\,]\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Ce qui justifie le tableau de signes de l'énoncé.

Question 2. c)

On calcule les valeurs utiles : $f(1)=\dfrac{\ln1}{1}=0$ et $f(\mathrm{e})=\dfrac{\ln\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\dfrac1{\mathrm{e}}$. D'après la question 1, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

D'après le signe de $f'$ :

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\mathrm{e}]$, de $f(1)=0$ à $f(\mathrm{e})=\dfrac1{\mathrm{e}}$

• $f$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$, de $\dfrac1{\mathrm{e}}$ vers la limite $0$.

Question 3. a)

Soit $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant\dfrac1{\mathrm{e}}$. Sur l'intervalle $[1\,;\mathrm{e}]$ :

• $f$ est continue, car dérivable

• $f$ est strictement croissante

• $f(1)=0\leqslant k\leqslant\dfrac1{\mathrm{e}}=f(\mathrm{e})$, donc $k$ est compris entre $f(1)$ et $f(\mathrm{e})$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction continue et strictement monotone, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $[1\,;\mathrm{e}]$.

Question 3. b)

Non. D'après le tableau de variations, $f$ admet sur $[1\,;+\infty[$ un maximum, atteint en $\mathrm{e}$ et égal à $\dfrac1{\mathrm{e}}$ : pour tout $x\geqslant1$, $f(x)\leqslant\dfrac1{\mathrm{e}}$.

Si $k>\dfrac1{\mathrm{e}}$, alors pour tout $x\geqslant1$, $f(x)\leqslant\dfrac1{\mathrm{e}}<k$, donc $f(x)\neq k$.

Donc, si $k>\dfrac1{\mathrm{e}}$, l'équation $f(x)=k$ n'admet aucune solution sur $[1\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ :

Comme la fonction exponentielle est strictement positive, $g'(x)>0$ pour tout réel $x$.

Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}$.

Initialisation. On a $u_0=1$ et $u_1=\mathrm{e}^{1/4}\approx1{,}284$. Donc $u_0\leqslant u_1\leqslant\mathrm{e}$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant\mathrm{e}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

La fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$ : on l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

c'est-à-dire

Or $\mathrm{e}<4$, donc $\dfrac{\mathrm{e}}4<1$, et par croissance de la fonction exponentielle, $\mathrm{e}^{\mathrm{e}/4}<\mathrm{e}^1=\mathrm{e}$.

On en déduit $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant\mathrm{e}$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}$.

Question 3.

D'après la question 2, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Et $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}$, donc $\left(u_n\right)$ est majorée par $\mathrm{e}$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Question 4.

On note $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$. Comme la suite est croissante, $\ell\geqslant u_0=1$, donc $\ell>0$. On admet que $\mathrm{e}^{\ell/4}=\ell$.

Les deux membres étant strictement positifs, on applique la fonction $\ln$ :

On divise par $\ell>0$ :

c'est-à-dire $f(\ell)=\dfrac14$.

Donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=\dfrac14$.

Question 5.

La suite est croissante et majorée par $\mathrm{e}$, donc $1\leqslant\ell\leqslant\mathrm{e}$. De plus $0\leqslant\dfrac14\leqslant\dfrac1{\mathrm{e}}$, car $\mathrm{e}<4$.

D'après la partie A, question 3. a), l'équation $f(x)=\dfrac14$ admet une unique solution sur $[1\,;\mathrm{e}]$. Comme $\ell$ est solution et appartient à $[1\,;\mathrm{e}]$, c'est cette solution.

À la calculatrice, on obtient $\ell\approx1{,}43$, arrondi à $10^{-2}$ près.

Donc $\ell\approx1{,}43$.

Réponse : $\ell\approx1{,}43$.

Points clés attendus

• Citer les croissances comparées pour la limite et la formule du quotient pour la dérivée.

• Pour le théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie, et position de $k$ entre $f(1)$ et $f(\mathrm{e})$.

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec l'hypothèse de récurrence, utilisation de la croissance de $g$, conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée).

• Passer au logarithme pour relier l'équation $\mathrm{e}^{x/4}=x$ à $f(x)=\dfrac14$.

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