Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2022, Métropole : exercice 2

8 septembre 2022 · jour 1 · 7 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70 % des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60 % visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6 % des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :

$M$ l'évènement : « le client visite le musée »
$G$ l'évènement : « le client visite la grotte ».

On note $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ ,  $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$ , et pour tout évènement $E$ , on note $p(E)$ la probabilité de $E$ .

Ainsi, d'après l'énoncé, on a : $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$ .

1. Vérifier que $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$ , où $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.
2. L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.
3. Quelle est la probabilité de l'évènement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
4. Montrer que $p(G) = 0,66$ .

Figure de l'énoncé, exercice 2, Métropole 8 septembre 2022

Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
Les tarifs pour les visites sont les suivants:
- visite du musée : 12 euros
- visite de la grotte : 5 euros.
On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.
1. Donner la loi de probabilité de $T$ . On présentera les résultats sous la forme d'un tableau.
2. Calculer l'espérance mathématique de $T$ .
3. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour.
  
  Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.
Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros.

Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
On choisit au hasard $100$ clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ?

On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.

Voir le corrigé

D'après l'énoncé : $p(M)=0{,}7$ , $p_M(G)=0{,}6$ et $p\left(\overline{M}\cap\overline{G}\right)=0{,}06$ .

Question 1. a)

L'évènement contraire de $M$ a pour probabilité $p\left(\overline{M}\right)=1-0{,}7=0{,}3$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle :

p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=\dfrac{p\left(\overline{M}\cap\overline{G}\right)}{p\left(\overline{M}\right)}=\dfrac{0{,}06}{0{,}3}=0{,}2.

Donc $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0{,}2$ .

Question 1. b)

Les probabilités sur les branches de l'arbre sont :

$p(M)=0{,}7$ et $p\left(\overline{M}\right)=0{,}3$
depuis $M$ : $p_M(G)=0{,}6$ et $p_M\left(\overline{G}\right)=1-0{,}6=0{,}4$
depuis $\overline{M}$ : $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0{,}2$ et $p_{\overline{M}}(G)=1-0{,}2=0{,}8$ .

Question 1. c)

On cherche $p\left(\overline{M}\cap G\right)$ . D'après la formule des probabilités conditionnelles :

p\left(\overline{M}\cap G\right)=p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(G)=0{,}3\times0{,}8=0{,}24.

Donc la probabilité que le client visite la grotte et ne visite pas le musée est $0{,}24$ .

Réponse : $0{,}24$ .

Question 1. d)

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

p(G)=p(M\cap G)+p\left(\overline{M}\cap G\right).

Or $p(M\cap G)=p(M)\times p_M(G)=0{,}7\times0{,}6=0{,}42$ .

Donc

p(G)=0{,}42+0{,}24=0{,}66.

Donc $p(G)=0{,}66$ .

Question 2.

On calcule la probabilité qu'un client ayant visité la grotte ait aussi visité le musée :

p_G(M)=\dfrac{p(M\cap G)}{p(G)}=\dfrac{0{,}42}{0{,}66}=\dfrac{7}{11}\approx0{,}636.

Comme $\dfrac{7}{11}>0{,}5$ , plus de la moitié des clients qui visitent la grotte visitent aussi le musée.

Donc l'affirmation du responsable est exacte.

Réponse : $p_G(M)=\dfrac7{11}\approx0{,}636>0{,}5$ : l'affirmation est exacte.

Question 3. a)

La somme dépensée $T$ dépend des visites effectuées :

aucune visite : $T=0$
grotte seule : $T=5$
musée seul : $T=12$
musée et grotte : $T=12+5=17$ .

Les probabilités sont :

$p(T=0)=p\left(\overline{M}\cap\overline{G}\right)=0{,}06$
$p(T=5)=p\left(\overline{M}\cap G\right)=0{,}24$
$p(T=12)=p\left(M\cap\overline{G}\right)=0{,}7\times0{,}4=0{,}28$
$p(T=17)=p(M\cap G)=0{,}42$ .

La somme de ces probabilités vaut $0{,}06+0{,}24+0{,}28+0{,}42=1$ .

Loi de probabilité de $T$ (valeur $t$ : probabilité $p(T=t)$ ) : $0:0{,}06$   $5:0{,}24$   $12:0{,}28$   $17:0{,}42$ .

Question 3. b)

E(T)=0\times0{,}06+5\times0{,}24+12\times0{,}28+17\times0{,}42=0+1{,}2+3{,}36+7{,}14=11{,}7.

Donc l'espérance de $T$ est $11{,}7$ : un client dépense en moyenne $11{,}7$ euros pour ces visites.

Réponse : $E(T)=11{,}7$ euros.

Question 3. c)

Pour $n$ clients par jour, la recette moyenne est $11{,}7\,n$ euros. L'objectif est atteint si

11{,}7\,n>700\iff n>\dfrac{700}{11{,}7}\approx59{,}8.

Comme $n$ est un entier, il faut $n\geqslant60$ . (Pour $n=60$ , la recette moyenne est $11{,}7\times60=702$ euros.)

Donc il faut en moyenne au moins $60$ clients par journée.

Réponse : $60$ clients par journée.

Question 4.

Soit $x$ le nouveau prix, en euros, de la visite de la grotte. Un client paie $12$ euros s'il visite le musée et $x$ euros s'il visite la grotte. Par linéarité de l'espérance, la dépense moyenne est

12\times p(M)+x\times p(G)=12\times0{,}7+0{,}66\,x=8{,}4+0{,}66\,x.

On veut une espérance de $15$ euros :

8{,}4+0{,}66\,x=15\iff 0{,}66\,x=6{,}6\iff x=10.

Vérification : $8{,}4+0{,}66\times10=15$ .

Donc il faut fixer le prix de la visite de la grotte à $10$ euros.

Réponse : $10$ euros.

Question 5.

Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients, parmi les $100$ choisis, qui ont visité la grotte.

On répète $100$ fois la même épreuve de Bernoulli (le client visite la grotte ou non), de probabilité de succès $p(G)=0{,}66$ . Le choix est assimilé à un tirage avec remise, donc ces épreuves sont identiques et indépendantes. Donc $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;0{,}66)$ .

« Au moins les trois quarts des clients » signifie $Y\geqslant75$ . On passe par l'évènement contraire :

P(Y\geqslant75)=1-P(Y\leqslant74).

À la calculatrice, on obtient $P(Y\leqslant74)\approx0{,}966$ , donc

P(Y\geqslant75)\approx0{,}034.

Donc la probabilité qu'au moins les trois quarts des $100$ clients aient visité la grotte est environ $0{,}034$ , arrondie au millième.

Réponse : $P(Y\geqslant75)\approx0{,}034$ .

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités (conditionnelles et d'intersection) et compléter l'arbre en utilisant les évènements contraires.
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{M,\overline{M}\}$ .
Pour l'affirmation du responsable, calculer la probabilité conditionnelle $p_G(M)$ et la comparer à $0{,}5$ .
Présenter la loi de $T$ avec la vérification que la somme des probabilités vaut $1$ , puis l'espérance.
Pour la loi binomiale, justifier les paramètres (répétitions identiques et indépendantes) et passer par l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Métropole, 8 septembre 2022 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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