Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

Données : $P(E_0)=0{,}4$, donc $P(E_1)=1-0{,}4=0{,}6$   $P_{E_0}(R_1)=0{,}01$, donc $P_{E_0}(R_0)=1-0{,}01=0{,}99$   $P_{E_1}(R_0)=0{,}02$, donc $P_{E_1}(R_1)=1-0{,}02=0{,}98$.

Question 1. Réponse b.

On cherche $P\left(E_0\cap R_0\right)$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

Donc la probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et le bit reçu un $0$ est $0{,}396$.

Les autres propositions sont à écarter : $0{,}99$ est $P_{E_0}(R_0)$, $0{,}01$ est $P_{E_0}(R_1)$, et $0{,}4$ est $P(E_0)$.

Question 2. Réponse c.

Les évènements $E_0$ et $E_1$ forment une partition de l'univers (le bit envoyé est un $0$ ou un $1$, exclusivement).

D'après la formule des probabilités totales :

Donc $P\left(R_0\right)=0{,}408$.

Question 3. Réponse c.

Par définition de la probabilité conditionnelle :

On a $P\left(E_0\cap R_1\right)=0{,}4\times 0{,}01=0{,}004$.

Comme $R_0$ et $R_1$ sont contraires, $P\left(R_1\right)=1-0{,}408=0{,}592$.

Donc

Donc, sachant que le bit reçu est un $1$, la probabilité que le bit envoyé ait été un $0$ est environ $0{,}007$.

Question 4. Réponse b.

Une erreur de transmission se produit si un $0$ est reçu comme un $1$, ou si un $1$ est reçu comme un $0$.

Ces deux évènements, $E_0\cap R_1$ et $E_1\cap R_0$, sont incompatibles, donc

Donc la probabilité d'une erreur de transmission est $0{,}016$.

Question 5. Réponse d.

Soit $X$ le nombre d'octets transmis sans erreur parmi les $10$ octets.

On répète $10$ épreuves identiques et indépendantes (énoncé), chacune n'ayant que deux issues : l'octet est transmis sans erreur (succès, de probabilité $0{,}88$) ou non.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}88$.

Alors

Donc la probabilité qu'exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est environ $0{,}085$.

Question 6. Réponse a.

L'évènement « au moins un octet est transmis sans erreur » a pour évènement contraire « aucun octet n'est transmis sans erreur », c'est-à-dire « les $10$ octets sont transmis avec erreur ».

Les transmissions étant indépendantes, la probabilité de cet évènement contraire est $0{,}12^{10}$.

Donc $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}12^{10}$.

Les autres propositions sont à écarter : $0{,}12^{10}$ est la probabilité de l'évènement contraire, et $0{,}88^{10}$ est la probabilité que tous les octets soient sans erreur.

Question 7. Réponse b.

Les $N$ octets sont transmis de façon indépendante, chacun sans erreur avec la probabilité $0{,}88$.

Donc la probabilité qu'ils soient tous transmis sans erreur est $0{,}88^N$.

On cherche les entiers $N$ tels que $0{,}88^N\geqslant 0{,}1$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ :

Comme $0{,}88<1$, on a $\ln(0{,}88)<0$ : on divise en changeant le sens de l'inégalité :

Donc la plus grande valeur entière de $N$ est $18$.

Vérification à la calculatrice : $0{,}88^{18}\approx 0{,}1002\geqslant 0{,}1$ et $0{,}88^{19}\approx 0{,}0881<0{,}1$.

Donc $N_0=18$.

Points clés attendus

• Compléter l'arbre : $P(E_1)=0{,}6$, $P_{E_0}(R_0)=0{,}99$, $P_{E_1}(R_1)=0{,}98$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{E_0,E_1\}$ et la formule de probabilité conditionnelle.

• Pour la loi binomiale, justifier les paramètres $n=10$ et $p=0{,}88$ (épreuves identiques et indépendantes).

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins un ».

• Résoudre l'inéquation $0{,}88^N\geqslant 0{,}1$ avec le logarithme, en tenant compte du signe de $\ln(0{,}88)$.

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