Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 1

Question 1. a)

On a $f(x)=x^2-6x+4\ln x$ pour tout $x>0$.

Limites en $0$ :

Par somme des limites,

Interprétation graphique : la limite de $f$ en $0$ est infinie, donc la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

Donc $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty$   asymptote verticale d'équation $x=0$.

Question 1. b)

Pour $x\to+\infty$, la somme $x^2-6x+4\ln x$ présente une forme indéterminée $\infty-\infty$.

Pour la lever, on factorise le terme dominant : pour tout $x>0$,

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac6x=0$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$.

Donc le facteur entre parenthèses tend vers $1$.

Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$, on obtient par produit

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (énoncé).

La dérivée de $x\mapsto x^2$ est $x\mapsto 2x$, celle de $x\mapsto -6x$ est $-6$, celle de $x\mapsto 4\ln x$ est $x\mapsto\dfrac4x$.

Donc, pour tout $x>0$,

On met au même dénominateur :

Le numérateur s'écrit $2\left(x^2-3x+2\right)$.

Le trinôme $x^2-3x+2$ a pour racines $1$ et $2$ (somme $3$, produit $2$), donc $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Donc, pour tout $x>0$,

Réponse : $f'(x)=2x-6+\dfrac4x=\dfrac{2(x-1)(x-2)}{x}$.

Question 2. b)

Pour tout $x>0$, on a $x>0$ et $2>0$.

Donc $f'(x)$ a le signe de $(x-1)(x-2)$.

On étudie le signe de chaque facteur :

• $x-1>0\iff x>1$

• $x-2>0\iff x>2$.

On en déduit :

• sur $]0\,;1[$, les deux facteurs sont négatifs, leur produit est positif : $f'(x)>0$

• en $x=1$ et en $x=2$ : $f'(x)=0$

• sur $]1\,;2[$, $x-1>0$ et $x-2<0$, leur produit est négatif : $f'(x)<0$

• sur $]2\,;+\infty[$, les deux facteurs sont positifs : $f'(x)>0$.

Valeurs aux extrema :

Tableau de variations, décrit en phrases :

• $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$, de la limite $-\infty$ en $0$ jusqu'à $f(1)=-5$

• $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;2]$, de $f(1)=-5$ jusqu'à $f(2)=-8+4\ln 2$

• $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$, de $f(2)=-8+4\ln 2$ jusqu'à la limite $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum local $-5$ en $1$ et un minimum local $-8+4\ln 2$ en $2$.

Question 3.

On cherche le nombre de solutions de $f(x)=0$ dans $[4\,;5]$.

D'après la question 2. b), $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$, donc sur $[4\,;5]$.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc continue sur $[4\,;5]$.

On calcule les valeurs aux bornes :

Ainsi $0$ est compris strictement entre $f(4)$ et $f(5)$.

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[4\,;5]$, avec $f(4)<0<f(5)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (version pour les fonctions strictement monotones), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[4\,;5]$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[4\,;5]$, avec $\alpha\approx 4{,}68$.

Question 4. a)

On admet $f''(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{x^2}$ pour tout $x>0$.

Sur $]0\,;+\infty[$, on a $\dfrac{2}{x^2}>0$.

Donc $f''(x)$ a le signe de $x^2-2$.

Pour $x>0$, on a $x^2-2=\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right)$ avec $x+\sqrt2>0$.

Donc $f''(x)$ a le signe de $x-\sqrt2$ :

• $f''(x)<0$ sur $]0\,;\sqrt2[$

• $f''(\sqrt2)=0$

• $f''(x)>0$ sur $]\sqrt2\,;+\infty[$.

Donc $f$ est concave sur $]0\,;\sqrt2]$ et convexe sur $[\sqrt2\,;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en $\sqrt2$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\sqrt2$.

Son ordonnée est

car $4\ln\sqrt2=2\ln 2$.

Donc $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, de coordonnées $\left(\sqrt2\,;\,2-6\sqrt2+2\ln 2\right)$.

Réponse : $f$ concave sur $]0\,;\sqrt2]$, convexe sur $[\sqrt2\,;+\infty[$   point d'inflexion $\left(\sqrt2\,;\,2-6\sqrt2+2\ln 2\right)$.

Question 4. b)

Le point A a pour abscisse $\sqrt2$ : c'est le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

Le point $M(t\,;f(t))$ appartient à $\mathcal{C}_f$.

Rappel : sur un intervalle où $f$ est convexe, tout segment joignant deux points de la courbe est situé au-dessus de la courbe   sur un intervalle où $f$ est concave, il est situé en dessous.

• Si $0<t<\sqrt2$ : les points A et $M$ ont leurs abscisses dans $]0\,;\sqrt2]$, intervalle sur lequel $f$ est concave. Donc le segment $[AM]$ est situé en dessous de la courbe $\mathcal{C}_f$.

• Si $t>\sqrt2$ : les points A et $M$ ont leurs abscisses dans $[\sqrt2\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est convexe. Donc le segment $[AM]$ est situé au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Points clés attendus

• Lever l'indétermination en $+\infty$ par factorisation de $x^2$ et croissances comparées.

• Justifier le signe de $f'$ à partir de la forme factorisée, puis décrire les variations avec les valeurs de $f(1)$ et $f(2)$.

• Théorème des valeurs intermédiaires : citer la continuité, la stricte monotonie et le changement de signe entre $f(4)$ et $f(5)$.

• Convexité : étudier le signe de $f''$ et préciser que l'inflexion correspond à un changement de signe.

• Position du segment $[AM]$ : relier concavité ou convexité à la position de la corde par rapport à la courbe.

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