Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

Question 1. a)

On a $u_0=-1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=x^3\mathrm{e}^x$.

Calcul de $u_1$ :

Valeur approchée : $u_1\approx -0{,}368$.

Calcul de $u_2$ :

Valeur approchée : $u_2\approx -0{,}034$.

Réponse : $u_1=-\mathrm{e}^{-1}\approx -0{,}368$   $u_2=-\mathrm{e}^{-3-\mathrm{e}^{-1}}\approx -0{,}034$.

Question 1. b)

La variable u est initialisée à $-1$, soit $u_0$.

À chaque passage dans la boucle, l'instruction u=u**3*exp(u) remplace u par $f(\texttt{u})$.

Pour n = 2, la boucle s'exécute pour i = 0 puis i = 1 : u prend successivement les valeurs $u_1$ puis $u_2$.

Donc fonc(2) renvoie $u_2$, soit $-0{,}034$ à $10^{-3}$ près.

Réponse : $\texttt{fonc(2)}\approx -0{,}034$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de $u:x\mapsto x^3$ et $v:x\mapsto\mathrm{e}^x$, toutes deux dérivables sur $\mathbb{R}$.

On utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$.

Pour tout réel $x$,

On factorise par $x^2\mathrm{e}^x$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=x^2\mathrm{e}^x(x+3)$.

Question 2. b)

Pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^x>0$ et $x^2\geqslant 0$, avec $x^2=0$ seulement pour $x=0$.

Donc $x^2\mathrm{e}^x\geqslant 0$ et $f'(x)$ a le signe de $x+3$, sauf en $x=0$ où $f'(0)=0$.

On en déduit :

• $f'(x)<0$ pour $x<-3$

• $f'(-3)=0$

• $f'(x)>0$ pour $x>-3$ et $x\neq 0$.

La dérivée ne s'annule en $0$ que de façon isolée, donc $f$ est strictement croissante sur $[-3\,;+\infty[$ (une fonction dérivable de dérivée positive ou nulle, ne s'annulant qu'en un point isolé, est strictement croissante).

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-3]$ et strictement croissante sur $[-3\,;+\infty[$.

Valeur au minimum :

Limite en $-\infty$ : par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to-\infty}x^3\mathrm{e}^x=0$.

Limite en $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc $f$ décroît de $0$ (limite en $-\infty$) à $-27\mathrm{e}^{-3}$ sur $]-\infty\,;-3]$, puis croît de $-27\mathrm{e}^{-3}$ à $+\infty$ sur $[-3\,;+\infty[$ : c'est le tableau de variations proposé.

Question 2. c)

Pour tout entier naturel $n$, on pose $P(n)$ : $-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 0$.

Initialisation. On a $u_0=-1$ et $u_1=-\mathrm{e}^{-1}\approx -0{,}368$.

Donc $-1\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $-1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 0$.

D'après la question 2. b), $f$ est strictement croissante sur $[-3\,;+\infty[$, donc sur $[-1\,;0]$, qui est inclus dans $[-3\,;+\infty[$.

Les nombres $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $[-1\,;0]$ : on applique $f$ aux trois membres de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $f(-1)=u_1$, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$, $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$ et $f(0)=0$.

Donc

Comme $-1\leqslant u_1$, on obtient $-1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 0$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. d)

D'après la question 2. c), pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Toujours d'après la question 2. c), pour tout $n$, $u_n\leqslant 0$ : la suite est majorée par $0$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Question 2. e)

La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$, et $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car dérivable).

On rappelle que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.

Comme $-1\leqslant u_n\leqslant 0$ pour tout $n$, un passage à la limite dans les inégalités large donne $-1\leqslant\ell\leqslant 0$.

On résout $f(\ell)=\ell$ :

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

On admet que l'équation $x^2\mathrm{e}^x-1=0$ possède une seule solution dans $\mathbb{R}$, et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac12$.

Or $\ell\leqslant 0<\dfrac12$ : $\ell$ ne peut pas être cette solution.

Donc $\ell=0$.

Réponse : $\ell=0$.

Points clés attendus

• Dérivée d'un produit $u'v+uv'$, puis factorisation par $x^2\mathrm{e}^x$ pour étudier le signe.

• Récurrence rédigée complètement : initialisation, hérédité avec la croissance de $f$ sur $[-1\,;0]$, conclusion.

• Citer le théorème de convergence monotone avec ses deux hypothèses : suite croissante et majorée.

• Pour la limite, utiliser la continuité de $f$ et le fait que $\ell\in[-1\,;0]$ pour écarter l'autre solution.

• Question Python : reconnaître que fonc(n) renvoie $u_n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.