Bac 2022, Métropole : exercice 1

Question 1. Réponse b.

Pour tout réel $x$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\mathrm{e}^{-x}$ :

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$. Par somme puis quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\dfrac{2}{1+0}=2$.

Donc la courbe représentative de $g$ admet la droite d'équation $y=2$ pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Les autres propositions sont à écarter : $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et admet une limite finie en $+\infty$, donc aucune droite verticale ($x=2$ ou $x=-1$) n'est asymptote en $+\infty$   et $y=0$ est l'asymptote en $-\infty$, car $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$.

Question 2. Réponse c.

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde $f''$ est positive sur cet intervalle.

Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}''$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$, et en dessous sur $[-1\,;2]$.

Donc $f''\geqslant 0$ sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[2\,;+\infty[$ : $f$ est convexe sur chacun de ces deux intervalles. Elle est concave sur $[-1\,;2]$.

Élimination des autres propositions :

• a. est fausse : $f''$ s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $2$, donc $\mathcal{C}$ admet deux points d'inflexion

• b. est fausse : $f$ est concave sur $[-1\,;2]$

• d. est fausse : $f''$ prend des valeurs négatives.

Question 3. Réponse d.

Pour tout entier naturel $n$ :

On factorise : $\dfrac12u_n-1=\dfrac12\left(u_n-2\right)=\dfrac12v_n$.

Donc $v_{n+1}=\dfrac12v_n$ pour tout $n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ (et de premier terme $v_0=-2$).

Les propositions a. et c. sont fausses car $v_1-v_0=-1-(-2)=1$ et $v_2-v_1=-\dfrac12-(-1)=\dfrac12$ ne sont pas égaux : la suite n'est pas arithmétique. La proposition b. est fausse car la raison est $\dfrac12$.

Question 4. Réponse b.

On a, pour tout entier naturel $n$ :

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\dfrac{n}{n+1}\right)=1$.

Comme $-1<\dfrac14<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac14\right)^n=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\left(\dfrac14\right)^n\right)=1$.

La suite $\left(u_n\right)$ est encadrée, pour tout $n$, par deux suites qui convergent vers la même limite $1$. D'après le théorème des gendarmes, $\left(u_n\right)$ converge vers $1$.

Question 5. Réponse a.

Pour $F(x)=\dfrac13x^3\left(\ln x-\dfrac13\right)$, on dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=\dfrac13x^3$ et $v(x)=\ln x-\dfrac13$ :

Donc $F'=f$ sur $]0\,;+\infty[$ : $F$ est une primitive de $f$.

Élimination des autres propositions, par le même calcul :

• b. donne $F'(x)=x^2(\ln x-1)+\dfrac13x^2=x^2\ln x-\dfrac23x^2\neq f(x)$

• c. donne $F'(x)=\dfrac23x\neq f(x)$

• d. donne $F'(x)=\dfrac23x(\ln x-1)+\dfrac13x=\dfrac23x\ln x-\dfrac13x\neq f(x)$.

Question 6. Réponse a.

On pose $X=\mathrm{e}^x$, avec $X>0$, de sorte que $\mathrm{e}^{-x}=\dfrac1X$.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par $X$ :

On met au même dénominateur :

Donc l'expression est égale à $\dfrac{5-3\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}$.

Points clés attendus

• Même sans justification demandée, savoir identifier une asymptote à partir d'une limite finie en $+\infty$.

• Lier convexité et signe de $f''$, et repérer les changements de signe pour les points d'inflexion.

• Pour une suite auxiliaire, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour reconnaître une suite géométrique.

• Citer le théorème des gendarmes et vérifier l'encadrement par deux suites de même limite.

• Pour une primitive, dériver chaque proposition et comparer avec $f$.

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