Bac 2022, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

Pour tout $x>0$, on a $f(x)=x-x\ln x$.

D'après le théorème des croissances comparées, on a

Par ailleurs, on a

Par somme de limites, on obtient

Donc la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ est $0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$.

Question 2.

Pour tout $x>0$, on factorise :

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, donc

Par produit de limites (le produit de $+\infty$ par $-\infty$ n'est pas une forme indéterminée), on obtient

Donc la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 3. a)

On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

La fonction $x\mapsto x\ln x$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$, dérivables sur $]0\,;+\infty[$, de dérivées $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, on a pour tout $x>0$

Donc, pour tout $x>0$,

Donc, pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=-\ln x$.

Question 3. b)

Le signe de $f'(x)$ est celui de $-\ln x$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $\ln 1=0$. Donc :

• pour $0<x<1$, on a $\ln x<0$, donc $f'(x)>0$

• pour $x=1$, on a $f'(1)=0$

• pour $x>1$, on a $\ln x>0$, donc $f'(x)<0$.

On en déduit les variations de $f$ :

• $f$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$

• $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

On calcule la valeur au point où la dérivée s'annule :

Tableau de variations : sur $]0\,;1]$, $f$ croît de la limite $0$ (en $0$) jusqu'à la valeur $f(1)=1$   sur $[1\,;+\infty[$, $f$ décroît de $1$ jusqu'à la limite $-\infty$ (en $+\infty$).

Donc $f$ admet un maximum égal à $1$, atteint pour $x=1$.

Question 4.

Pour tout $x>0$, on a les équivalences

Comme $x>0$, le facteur $x$ est non nul   un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc

Donc l'équation $f(x)=x$ admet pour unique solution $x=1$ sur $]0\,;+\infty[$.

Réponse : $x=1$.

Partie B

Question 1.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

On rappelle que $f$ est croissante sur $[0{,}5\,;1]$ et que $f(1)=1$.

Initialisation.

On a $u_0=0{,}5$.

On a $u_1=f(0{,}5)=0{,}5-0{,}5\ln0{,}5=0{,}5+0{,}5\ln2$, car $\ln0{,}5=-\ln2$.

Une valeur approchée est $u_1\approx0{,}847$.

On a donc $0{,}5\leqslant0{,}5\leqslant0{,}847\leqslant1$, c'est-à-dire $0{,}5\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant1$.

Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $0{,}5\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant1$.

D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à l'intervalle $[0{,}5\,;1]$, sur lequel $f$ est croissante.

On applique $f$ aux trois membres de l'inégalité $u_k\leqslant u_{k+1}$ en conservant le sens :

D'après l'hypothèse de récurrence, $u_{k+1}\leqslant1$ et $u_{k+1}\geqslant u_k\geqslant0{,}5$, donc $u_{k+1}\in[0{,}5\,;1]$   par croissance de $f$ sur cet intervalle,

D'autre part, $0{,}5\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}$ donne $0{,}5\leqslant u_{k+1}$.

On obtient donc $0{,}5\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $0{,}5\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1$.

Question 2. a)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

D'après la même question, pour tout $n$, on a $u_n\leqslant1$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Donc la suite $(u_n)$ converge.

Question 2. b)

Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$.

Pour tout $n$, on a $0{,}5\leqslant u_n\leqslant1$. Par passage à la limite dans les inégalités larges, on a $0{,}5\leqslant\ell\leqslant1$. En particulier, $\ell$ appartient à $]0\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est dérivable, donc continue, sur $]0\,;+\infty[$.

Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et que $f$ est continue en $\ell$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell)$. Or $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\ell$. Par unicité de la limite,

D'après la question 4 de la partie A, l'unique solution de $f(x)=x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $1$.

Donc $\ell=1$.

Réponse : $\ell=1$.

Partie C

Question 1.

Soit $k$ un réel. La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables.

Pour tout $x>0$, d'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

On étudie le signe de $f_k'(x)$. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a

De même, $f_k'(x)=0\iff x=\mathrm{e}^{k-1}$ et $f_k'(x)<0\iff x>\mathrm{e}^{k-1}$.

On en déduit :

• $f_k$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{k-1}]$

• $f_k$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{k-1}\,;+\infty[$.

Donc, pour tout réel $k$, la fonction $f_k$ admet un maximum atteint en $x_k=\mathrm{e}^{k-1}$.

Question 2.

Le maximum de $f_k$ est

On remplace $x$ par $\mathrm{e}^{k-1}$ et on utilise $\ln\left(\mathrm{e}^{k-1}\right)=k-1$ :

Or $x_k=\mathrm{e}^{k-1}$.

Donc, pour tout réel $k$, on a $x_k=y_k$.

Points clés attendus

• Citer les croissances comparées pour la limite en $0$ et lever la forme indéterminée en $+\infty$ par factorisation.

• Dériver $x\ln x$ avec la formule du produit et justifier le signe de $f'$ par celui de $-\ln x$.

• Récurrence rédigée complètement, en précisant que $f$ est croissante sur $[0{,}5\,;1]$ et que $f(1)=1$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée), puis la continuité de $f$ pour passer à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$.

• Justifier que $\ell$ est solution de $f(x)=x$ et utiliser la question 4 de la partie A.

• Partie C : étudier le signe de $f_k'$ en fonction de $k$ et utiliser $\ln\left(\mathrm{e}^{k-1}\right)=k-1$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.