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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Métropole : exercice 2

11 mai 2022 · 7 points

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right), on considère:

∙    \bullet\;\; le point A de coordonnées (−1  ;  1  ;  3)(-1\;;\;1\;;\;3),

∙    \bullet\;\;la droite D\mathcal{D} dont une représentation paramétrique est: {x=1+2ty=2−t,z=2+2tt∈R\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t \end{array}\right. t \in \mathbb{R}.

On admet que le point A n'appartient pas à la droite D\mathcal{D}.

    1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur u→\overrightarrow{u} de la droite D\mathcal{D}.

    2. Montrer que le point B(−1  ;  3  ;  0)(-1\;;\;3\;;\;0) appartient à la droite D\mathcal{D}.

    3. Calculer le produit scalaire AB→⋅u→\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}.

  2. On note P\mathcal{P} le plan passant par le point A et orthogonal à la droite D\mathcal{D}, et on appelle H le point d'intersection du plan P\mathcal{P} et de la droite D\mathcal{D}. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite D\mathcal{D}.

    1. Montrer que le plan P\mathcal{P} admet pour équation cartésienne: 2x−y+2z−3=02x - y + 2z - 3 = 0.

    2. En déduire que le point H a pour coordonnées (79  ;  199  ;  169)\left(\dfrac79\;;\;\dfrac{19}{9}\;;\;\dfrac{16}{9}\right).

    3. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.

  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D\mathcal{D}, par une autre méthode.

    On rappelle que le point B(−1  ;  3  ;  0)(-1\;;\;3\;;\;0) appartient à la droite D\mathcal{D} et que le vecteur u→\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite D\mathcal{D}.

    1. Justifier qu'il existe un nombre réel kk tel que HB→=ku→\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}.

    2. Montrer que k=AB→⋅u→∥u→∥2k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2}.

    3. Calculer la valeur du nombre réel kk et retrouver les coordonnées du point H.

  4. On considère un point C appartenant au plan P\mathcal{P} tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à 89\dfrac89.

    Calculer l'aire du triangle ACH.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: V=13×B×hV = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h où B\mathcal{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur relative à cette base.

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Question 1. a) Une représentation paramétrique de D\mathcal{D} est

{x=1+2ty=2−tz=2+2t,t∈R.\begin{cases}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=2+2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.

Les coefficients de tt donnent les coordonnées d'un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Donc u⃗(2 ; −1 ; 2)\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2) est un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Réponse : u⃗(2 ; −1 ; 2)\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2).

Question 1. b) Le point B(−1 ; 3 ; 0)\mathrm{B}(-1\,;\,3\,;\,0) appartient à D\mathcal{D} si et seulement s'il existe un réel tt tel que

{−1=1+2t3=2−t0=2+2t.\begin{cases}-1=1+2t\\ 3=2-t\\ 0=2+2t\end{cases}.

La première équation donne 2t=−22t=-2, soit t=−1t=-1.

La deuxième équation donne t=2−3=−1t=2-3=-1.

La troisième équation donne 2t=−22t=-2, soit t=−1t=-1.

Les trois équations sont vérifiées par la même valeur t=−1t=-1.

Donc B\mathrm{B} appartient à la droite D\mathcal{D} (pour le paramètre t=−1t=-1).

Question 1. c) On calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} :

AB→(−1−(−1) ; 3−1 ; 0−3)=AB→(0 ; 2 ; −3).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(-1-(-1)\,;\,3-1\,;\,0-3\right)=\overrightarrow{\mathrm{AB}}(0\,;\,2\,;\,-3).

Puis le produit scalaire, dans le repère orthonormé :

AB→⋅u⃗=0×2+2×(−1)+(−3)×2=0−2−6=−8.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}=0\times 2+2\times(-1)+(-3)\times 2=0-2-6=-8.

Réponse : AB→⋅u⃗=−8\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}=-8.

Question 2. a) Le plan P\mathcal{P} est orthogonal à la droite D\mathcal{D} : un vecteur directeur de D\mathcal{D} est donc un vecteur normal à P\mathcal{P}.

Ainsi u⃗(2 ; −1 ; 2)\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2) est normal à P\mathcal{P}, et P\mathcal{P} admet une équation cartésienne de la forme

2x−y+2z+d=0,d∈R.2x-y+2z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A(−1 ; 1 ; 3)\mathrm{A}(-1\,;\,1\,;\,3) appartient à P\mathcal{P}, donc

2×(−1)−1+2×3+d=0  ⟺  3+d=0  ⟺  d=−3.2\times(-1)-1+2\times 3+d=0\iff 3+d=0\iff d=-3.

Donc P\mathcal{P} admet pour équation cartésienne 2x−y+2z−3=02x-y+2z-3=0.

Question 2. b) Le point H appartient à D\mathcal{D} et à P\mathcal{P}.

Un point de D\mathcal{D} a pour coordonnées (1+2t ; 2−t ; 2+2t)(1+2t\,;\,2-t\,;\,2+2t). Il appartient à P\mathcal{P} si et seulement si

2(1+2t)−(2−t)+2(2+2t)−3=0  ⟺  2+4t−2+t+4+4t−3=0  ⟺  9t+1=0  ⟺  t=−19.\begin{aligned} 2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0&\iff 2+4t-2+t+4+4t-3=0\\ &\iff 9t+1=0\\ &\iff t=-\dfrac19. \end{aligned}

On reporte t=−19t=-\dfrac19 dans la représentation paramétrique de D\mathcal{D} :

xH=1−29=79,yH=2+19=199,zH=2−29=169.x_{\mathrm{H}}=1-\dfrac29=\dfrac79,\qquad y_{\mathrm{H}}=2+\dfrac19=\dfrac{19}{9},\qquad z_{\mathrm{H}}=2-\dfrac29=\dfrac{16}{9}.

Donc H(79 ; 199 ; 169)\mathrm{H}\left(\dfrac79\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right).

Question 2. c) On calcule les coordonnées de AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} :

AH→(79+1 ; 199−1 ; 169−3)=AH→(169 ; 109 ; −119).\overrightarrow{\mathrm{AH}}\left(\dfrac79+1\,;\,\dfrac{19}{9}-1\,;\,\dfrac{16}{9}-3\right)=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\left(\dfrac{16}{9}\,;\,\dfrac{10}{9}\,;\,-\dfrac{11}{9}\right).

Le repère étant orthonormé :

AH=(169)2+(109)2+(−119)2=19256+100+121=4779.\mathrm{AH}=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2}=\dfrac19\sqrt{256+100+121}=\dfrac{\sqrt{477}}{9}.

Or 477=9×53477=9\times 53, donc 477=353\sqrt{477}=3\sqrt{53} et

AH=3539=533.\mathrm{AH}=\dfrac{3\sqrt{53}}{9}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}.

Réponse : AH=533\mathrm{AH}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}.

Question 3. a) Les points H et B appartiennent à la droite D\mathcal{D}, dont u⃗\vec{u} est un vecteur directeur (non nul).

Les vecteurs HB→\overrightarrow{\mathrm{HB}} et u⃗\vec{u} sont donc colinéaires, et comme u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}, il existe un réel kk tel que

HB→=k u⃗.\overrightarrow{\mathrm{HB}}=k\,\vec{u}.

Question 3. b) D'après la relation de Chasles, AB→=AH→+HB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}.

Donc

AB→⋅u⃗=AH→⋅u⃗+HB→⋅u⃗=AH→⋅u⃗+k ∥u⃗∥2.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}+k\,\|\vec{u}\|^2.

Les points A et H appartiennent au plan P\mathcal{P}, orthogonal à D\mathcal{D} : le vecteur AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} est orthogonal à u⃗\vec{u}, donc AH→⋅u⃗=0\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}=0.

On en déduit AB→⋅u⃗=k ∥u⃗∥2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}=k\,\|\vec{u}\|^2.

Comme u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}, on a ∥u⃗∥2≠0\|\vec{u}\|^2\neq 0, et donc

k=AB→⋅u⃗∥u⃗∥2.k=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}.

Question 3. c) On a ∥u⃗∥2=22+(−1)2+22=9\|\vec{u}\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9 et AB→⋅u⃗=−8\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\vec{u}=-8 (question 1. c).

Donc

k=−89=−89.k=\dfrac{-8}{9}=-\dfrac89.

De HB→=k u⃗\overrightarrow{\mathrm{HB}}=k\,\vec{u}, on tire BH→=−k u⃗=89 u⃗\overrightarrow{\mathrm{BH}}=-k\,\vec{u}=\dfrac89\,\vec{u}, c'est-à-dire

BH→(169 ; −89 ; 169).\overrightarrow{\mathrm{BH}}\left(\dfrac{16}{9}\,;\,-\dfrac89\,;\,\dfrac{16}{9}\right).

Les coordonnées de H sont donc :

xH=−1+169=79,yH=3−89=199,zH=0+169=169.x_{\mathrm{H}}=-1+\dfrac{16}{9}=\dfrac79,\qquad y_{\mathrm{H}}=3-\dfrac89=\dfrac{19}{9},\qquad z_{\mathrm{H}}=0+\dfrac{16}{9}=\dfrac{16}{9}.

On retrouve H(79 ; 199 ; 169)\mathrm{H}\left(\dfrac79\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right).

Réponse : k=−89k=-\dfrac89 et H(79 ; 199 ; 169)\mathrm{H}\left(\dfrac79\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right).

Question 4. Les points A, C et H appartiennent au plan P\mathcal{P} : le triangle ACH est contenu dans P\mathcal{P}.

On le prend pour base du tétraèdre ABCH, d'aire B\mathcal{B}. La hauteur relative à cette base est la distance de B au plan P\mathcal{P}.

La droite D\mathcal{D} est orthogonale à P\mathcal{P} et coupe P\mathcal{P} en H   comme B appartient à D\mathcal{D}, la distance de B à P\mathcal{P} est BH\mathrm{BH}.

On calcule :

BH=∣k∣×∥u⃗∥=89×3=83.\mathrm{BH}=|k|\times\|\vec{u}\|=\dfrac89\times 3=\dfrac83.

La formule du volume donne :

V=13×B×BH=13×B×83=89 B.V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times\mathrm{BH}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times\dfrac83=\dfrac{8}{9}\,\mathcal{B}.

Comme V=89V=\dfrac89, on obtient 89 B=89\dfrac89\,\mathcal{B}=\dfrac89, donc B=1\mathcal{B}=1.

Donc l'aire du triangle ACH est égale à 11 (unité d'aire).

Réponse : aire de ACH =1=1.

Points clés attendus

  • Lire un vecteur directeur dans la représentation paramétrique et vérifier l'appartenance de B avec une seule valeur de tt pour les trois coordonnées.

  • Justifier que u⃗\vec{u} est normal à P\mathcal{P} (orthogonalité de P\mathcal{P} et D\mathcal{D}), puis déterminer dd avec les coordonnées de A.

  • Obtenir H en substituant la représentation paramétrique dans l'équation de P\mathcal{P}.

  • Dans la question 3. b), utiliser la relation de Chasles et l'orthogonalité de AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} et u⃗\vec{u}.

  • Pour le volume, identifier la hauteur comme la distance BH\mathrm{BH} (B sur D\mathcal{D}, orthogonale à P\mathcal{P} en H) et citer la formule V=13×B×hV=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Métropole, 11 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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