Bac 2022, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1. a) La fonction $f$ est de la forme $uv$ avec, pour tout $t\in[0\,;\,10]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0\,;\,10]$ et on a

(dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(t)=-0{,}5t+1$ et $w'(t)=-0{,}5$).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, on a pour tout $t\in[0\,;\,10]$ :

Donc, pour tout $t\in[0\,;\,10]$ : $f'(t)=3(-0{,}5t+1)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}$.

Question 1. b) Pour tout $t\in[0\,;\,10]$, on a $3>0$ et $\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}>0$ (une exponentielle est strictement positive).

Donc $f'(t)$ a le même signe que $-0{,}5t+1$.

On résout :

Ainsi :

• $f'(t)>0$ pour $t\in[0\,;\,2[$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2]$

• $f'(2)=0$

• $f'(t)<0$ pour $t\in\,]2\,;\,10]$ : $f$ est strictement décroissante sur $[2\,;\,10]$.

Valeurs aux bornes et à l'extremum :

Tableau de variations : $f$ croît de $0$ (en $t=0$) à $6$ (en $t=2$), puis décroît de $6$ à $30\,\mathrm{e}^{-4}\approx 0{,}55$ (en $t=10$).

Question 1. c) D'après le tableau de variations, $f$ admet un maximum en $t=2$, égal à $f(2)=6$.

Donc, selon cette modélisation, la quantité de médicament présente dans le sang est maximale au bout de $2$ heures, et cette quantité maximale est de $6$ mg.

Réponse : maximum atteint pour $t=2$ h, égal à $6$ mg.

Question 2. a) Sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ :

• $f$ est dérivable, donc continue

• $f$ est strictement croissante (question 1. b)

• $f(0)=0$ et $f(2)=6$, et $5\in[0\,;\,6]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones), l'équation $f(t)=5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\,2]$.

Pour en donner une valeur approchée, on calcule à la calculatrice :

Comme $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2]$, on obtient $1{,}02<\alpha<1{,}03$.

Donc $\alpha\approx 1{,}02$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : $\alpha\approx 1{,}02$.

Question 2. b) Le traitement est efficace lorsque $f(t)\geqslant 5$.

D'après les variations de $f$ :

• sur $[0\,;\,2]$, $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=5$, donc $f(t)\geqslant 5\iff t\geqslant\alpha$

• sur $[2\,;\,10]$, $f$ est strictement décroissante et $f(\beta)=5$, donc $f(t)\geqslant 5\iff t\leqslant\beta$.

Ainsi $f(t)\geqslant 5\iff t\in[\alpha\,;\,\beta]$.

La durée d'efficacité est donc

On convertit en minutes :

Donc, à la minute près, le médicament est efficace pendant $146$ minutes, soit $2$ h $26$ min.

Réponse : environ $146$ minutes ($2$ h $26$ min).

Partie B

Question 1. Immédiatement après l'injection initiale, il y a $u_0=2$ mg dans le sang.

Une heure plus tard, la quantité a diminué de $30\,\%$ : il reste $70\,\%$ de $2$ mg, soit $0{,}7\times 2=1{,}4$ mg.

On réinjecte alors $1{,}8$ mg, donc

Réponse : $u_1=3{,}2$ mg.

Question 2. Soit $n$ un entier naturel. La quantité présente immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure est $u_n$.

Une heure plus tard, elle a diminué de $30\,\%$ : elle vaut $\left(1-0{,}3\right)u_n=0{,}7\,u_n$.

On injecte alors une nouvelle dose de $1{,}8$ mg, ce qui donne la quantité $u_{n+1}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0{,}7\,u_n+1{,}8$.

Question 3. a) Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $u_n\leqslant u_{n+1}<6$.

Initialisation. On a $u_0=2$ et $u_1=3{,}2$, donc $u_0\leqslant u_1<6$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<6$.

On multiplie chaque membre par $0{,}7>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On ajoute $1{,}8$ à chaque membre :

D'après la relation de récurrence, $0{,}7\,u_k+1{,}8=u_{k+1}$ et $0{,}7\,u_{k+1}+1{,}8=u_{k+2}$.

De plus $0{,}7\times 6+1{,}8=4{,}2+1{,}8=6$.

On obtient donc $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<6$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire

Question 3. b) D'après la question précédente, pour tout $n$ :

• $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante

• $u_n<6$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $6$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

On note $\ell$ sa limite.

Question 3. c) La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$, donc la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$.

Par ailleurs $u_{n+1}=0{,}7\,u_n+1{,}8$, et l'on passe à la limite dans cette égalité (opérations sur les limites) :

On résout :

Donc $\ell=6$.

Interprétation : à long terme, la quantité de médicament présente dans le sang du patient immédiatement après une injection se stabilise autour de $6$ mg (sans jamais atteindre cette valeur, puisque $u_n<6$).

Réponse : $\ell=6$.

Question 4. a) Pour tout entier naturel $n$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}7$.

Son premier terme est $v_0=6-u_0=6-2=4$.

Question 4. b) Une suite géométrique de raison $0{,}7$ et de premier terme $4$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ :

Comme $v_n=6-u_n$, on a $u_n=6-v_n$, donc

Réponse : $v_n=4\times 0{,}7^n$ et $u_n=6-4\times 0{,}7^n$.

Question 4. c) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 5{,}5$.

On résout l'inéquation :

Or $\dfrac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}7)}\approx 5{,}83$.

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette condition est donc $n=6$.

Vérification : $u_5=6-4\times 0{,}7^5\approx 5{,}328<5{,}5$ et $u_6=6-4\times 0{,}7^6\approx 5{,}529\geqslant 5{,}5$.

Interprétation : $u_0$ correspond à l'injection initiale, donc $u_6$ est la quantité présente après la $7$-ième injection (l'injection initiale puis $6$ réinjections).

Donc on réalise $7$ injections avec ce protocole.

Réponse : $n=6$, soit $7$ injections au total (injection initiale comprise).

Points clés attendus

• Dériver $f$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ et justifier le signe de $f'$ par la positivité de l'exponentielle.

• Pour $\alpha$ : citer le théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant continuité, stricte monotonie et encadrement de $5$ par $f(0)$ et $f(2)$.

• Récurrence rédigée avec initialisation, hérédité (multiplication par $0{,}7>0$ puis addition de $1{,}8$) et conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée), puis obtenir $\ell$ par passage à la limite dans la relation de récurrence.

• Pour la suite géométrique, partir de $v_{n+1}=6-u_{n+1}$   pour l'inéquation, changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}7)<0$.

• Distinguer l'indice $n=6$ du nombre d'injections ($7$, car $u_0$ correspond à l'injection initiale).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.