Bac 2022, Asie : exercice 4

Partie A

Question 1. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A$(1\,;3)$. Donc

La droite (AB) est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $1$. Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Avec A$(1\,;3)$ et B$(3\,;5)$ :

Réponse : $f(1)=3$ et $f'(1)=1$.

Question 2. a) Soit $a\geqslant0$. La fonction $u:x\mapsto ax^2+1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme) et, pour tout réel $x$, $u(x)\geqslant1>0$.

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Par composition, $f=\ln(u)+b$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'=\dfrac{u'}{u}$.

Avec $u'(x)=2ax$, on obtient pour tout réel $x$

Réponse : $f'(x)=\dfrac{2ax}{ax^2+1}$.

Question 2. b) D'après la question 1, $f'(1)=1$. D'après la question 2. a),

Donc

Ensuite, $f(1)=\ln(a\times1^2+1)+b=\ln2+b$, et $f(1)=3$. Donc

On a $\ln2<1<3$, donc $b>0$ : la condition de l'énoncé (nombres réels positifs) est bien satisfaite, ainsi que $a=1\geqslant0$.

Donc $a=1$ et $b=3-\ln2$.

Réponse : $a=1$ et $b=3-\ln2$.

Partie B

Question 1. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, qui est symétrique par rapport à $0$ : pour tout réel $x$, $-x\in\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$,

Donc $f$ est une fonction paire.

Question 2. Limite en $+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(x^2+1\right)=+\infty$.

Comme $3-\ln2$ est une constante, par somme

Limite en $-\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$, donc de la même façon $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. On retrouve ce résultat par parité de $f$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 3. La fonction $x\mapsto x^2+1$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$. Par composition avec $\ln$, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$,

Étude du signe de $f'(x)$.

Le dénominateur $x^2+1$ est strictement positif. Donc $f'(x)$ a le signe de $2x$, c'est-à-dire le signe de $x$ :

• si $x<0$, alors $f'(x)<0$

• si $x=0$, alors $f'(0)=0$

• si $x>0$, alors $f'(x)>0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Valeur du minimum :

Tableau de variations (décrit en phrases) : sur $]-\infty\,;0]$, $f$ décroît de $+\infty$ (limite en $-\infty$) jusqu'à $3-\ln2$ (valeur en $0$)   sur $[0\,;+\infty[$, $f$ croît de $3-\ln2$ jusqu'à $+\infty$ (limite en $+\infty$).

Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc $3-\ln2$, atteint en $x=0$.

Réponse : $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$   minimum $f(0)=3-\ln2$.

Question 4. Sur $]-\infty\,;0]$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Elle réalise une bijection de $]-\infty\,;0]$ sur $[3-\ln2\,;+\infty[$.

Sur $[0\,;+\infty[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. Elle réalise une bijection de $[0\,;+\infty[$ sur $[3-\ln2\,;+\infty[$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), pour un réel $k$ donné :

• si $k>3-\ln2$, l'équation $f(x)=k$ admet exactement une solution dans $]-\infty\,;0[$ et exactement une solution dans $]0\,;+\infty[$, donc deux solutions au total (opposées, par parité)

• si $k=3-\ln2$, l'équation admet une seule solution, $x=0$

• si $k<3-\ln2$, l'équation n'admet aucune solution, puisque $3-\ln2$ est le minimum de $f$.

Donc l'équation $f(x)=k$ admet deux solutions si et seulement si $k\in\left]3-\ln2\,;+\infty\right[$.

Réponse : $k>3-\ln2$.

Question 5. On résout l'équation $f(x)=3+\ln2$ dans $\mathbb{R}$.

Donc l'ensemble des solutions est $\left\{-\sqrt3\,;\sqrt3\right\}$.

Réponse : $x=-\sqrt3$ ou $x=\sqrt3$.

Partie C

Question 1. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la courbe change de convexité.

Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}_f$ est tournée vers le haut (convexe) entre les abscisses $-1$ et $1$, et tournée vers le bas (concave) pour $x<-1$ et pour $x>1$.

On conjecture donc que $\mathcal{C}_f$ admet deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $1$.

Réponse : abscisses $-1$ et $1$.

Question 2. On a $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$. On dérive ce quotient avec la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, où $u(x)=2x$ et $v(x)=x^2+1$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.

On a $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x$. Donc, pour tout réel $x$,

Donc

Question 3. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle sur cet intervalle.

Le dénominateur $\left(x^2+1\right)^2$ est strictement positif. Donc $f''(x)$ a le signe de $2\left(1-x^2\right)$, c'est-à-dire de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ :

• $f''(x)>0$ pour $x\in]-1\,;1[$

• $f''(x)=0$ pour $x=-1$ et $x=1$

• $f''(x)<0$ pour $x\in]-\infty\,;-1[\,\cup\,]1\,;+\infty[$.

Donc $f$ est convexe sur $[-1\,;1]$, et elle n'est convexe sur aucun intervalle plus grand, puisque $f''<0$ juste à l'extérieur de $[-1\,;1]$.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$ : la conjecture de la question 1 est confirmée.

Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe est $[-1\,;1]$.

Réponse : $[-1\,;1]$.

Points clés attendus

• Lire $f(1)$ et $f'(1)$ sur le graphique (coefficient directeur de la tangente).

• Justifier que $ax^2+1>0$ avant de dériver $\ln(u)$, puis résoudre le système en $a$ et $b$.

• Utiliser la composition pour les limites et justifier le signe de $f'$ par celui de $x$.

• Citer le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone) pour le nombre de solutions de $f(x)=k$.

• Calculer $f''$ avec la formule du quotient, puis relier la convexité au signe de $f''$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.