Bac 2022, Groupe I : exercice 1

Partie A

Question 1. On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

Les skieurs ont un forfait JUNIOR dans $20\,\%$ des cas et un forfait SENIOR dans $80\,\%$ des cas. Les évènements $J$ et $\overline{J}$ (forfait SENIOR) forment donc une partition de l'univers :

Parmi les skieurs JUNIOR, $6\,\%$ choisissent l'option coupe-file :

Parmi les skieurs SENIOR, $12{,}5\,\%$ choisissent l'option coupe-file :

L'arbre pondéré comporte donc deux branches issues du départ, $J$ (pondérée par $0{,}2$) et $\overline{J}$ (pondérée par $0{,}8$). De chacune partent deux branches : $C$ et $\overline{C}$, pondérées par $0{,}06$ et $0{,}94$ sous $J$, et par $0{,}125$ et $0{,}875$ sous $\overline{J}$.

Question 2. On cherche la probabilité de l'intersection de $J$ et de $C$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles, $P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C)$. Donc

La probabilité que le skieur ait un forfait JUNIOR et choisisse l'option coupe-file est donc $0{,}012$.

Réponse : $P(J\cap C)=0{,}012$.

Question 3. Les évènements $J$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers).

D'après la formule des probabilités totales :

On connaît $P(J\cap C)=0{,}012$ d'après la question 2. De plus, d'après la formule des probabilités conditionnelles :

On en déduit

Donc la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.

Question 4. On cherche la probabilité que le skieur ait un forfait SENIOR sachant qu'il a choisi l'option coupe-file, c'est-à-dire $P_C(\overline{J})$.

On a $P(C)=0{,}112\neq 0$. D'après la définition de la probabilité conditionnelle :

Une valeur approchée de $\dfrac{25}{28}$ est $0{,}8928\ldots$, soit $0{,}893$ arrondie au millième.

Donc, sachant que le skieur a choisi l'option coupe-file, la probabilité qu'il ait un forfait SENIOR est environ $0{,}893$.

Réponse : $P_C(\overline{J})=\dfrac{25}{28}\approx 0{,}893$.

Question 5. Les personnes de moins de vingt-cinq ans sont les skieurs ayant un forfait JUNIOR. Leur part parmi les skieurs ayant choisi l'option coupe-file est $P_C(J)$.

Les évènements $J$ et $\overline{J}$ sont contraires, donc $P_C(J)$ et $P_C(\overline{J})$ sont de somme égale à $1$ :

On retrouve ce résultat par le calcul direct :

Cela représente environ $10{,}7\,\%$ des skieurs ayant choisi l'option coupe-file. Or $10{,}7\,\%<15\,\%$.

L'affirmation est donc vraie : les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de $15\,\%$ des skieurs ayant choisi l'option coupe-file.

Partie B

Question 1. Le tirage d'un skieur et l'observation du choix de l'option coupe-file est une épreuve de Bernoulli, de probabilité de succès $p=P(C)=0{,}112$.

On choisit $30$ skieurs au hasard dans l'échantillon : on suppose, comme l'énoncé l'admet, qu'on répète $30$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}112$.

Réponse : $X\hookrightarrow\mathcal{B}(30\,;0{,}112)$.

Question 2. L'évènement « au moins un skieur a choisi l'option coupe-file » est l'évènement contraire de $\{X=0\}$. Donc

Pour une loi binomiale, $P(X=0)=\dbinom{30}{0}\,0{,}112^{0}\,(1-0{,}112)^{30}=0{,}888^{30}$.

On obtient, à la calculatrice, $0{,}888^{30}\approx 0{,}0283$, donc

Donc la probabilité qu'au moins un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file est environ $0{,}972$.

Réponse : $P(X\geqslant 1)\approx 0{,}972$.

Question 3. L'évènement « au plus un skieur a choisi l'option coupe-file » est $\{X\leqslant 1\}=\{X=0\}\cup\{X=1\}$, réunion de deux évènements incompatibles. Donc

On a $P(X=0)=0{,}888^{30}$ et

À la calculatrice : $P(X=0)\approx 0{,}0283$ et $P(X=1)\approx 0{,}1072$. Donc

Donc la probabilité qu'au plus un des $30$ skieurs ait choisi l'option coupe-file est environ $0{,}136$.

Réponse : $P(X\leqslant 1)\approx 0{,}136$.

Question 4. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}112$. Son espérance est donc

Donc, en moyenne, $3{,}36$ skieurs sur $30$ choisissent l'option coupe-file.

Réponse : $E(X)=3{,}36$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités ($P(J)$, $P_J(C)$, $P_{\overline{J}}(C)$) et nommer les évènements.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant que $J$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers.

• Utiliser la définition de la probabilité conditionnelle pour la probabilité « à l'envers » $P_C(\overline{J})$, puis comparer $P_C(J)$ à $15\,\%$ pour répondre à la question 5.

• Justifier la loi binomiale (répétition de $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et donner ses paramètres.

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins un » et respecter l'arrondi demandé.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.