Bac 2022, Centres étrangers : exercice 4

Question 1. a)

L'urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs, soit $5$ jetons. On note $B$ l'évènement « le jeton tiré est blanc » et $N$ l'évènement « le jeton tiré est noir ».

Les jetons sont indiscernables au toucher, donc le tirage d'un jeton est équiprobable, et

Les deux jetons sont tirés avec remise : la composition de l'urne est la même au second tirage et les deux tirages sont indépendants. Les probabilités du second tirage ne dépendent donc pas du résultat du premier.

L'arbre pondéré comporte deux niveaux :

• au premier tirage, la branche $B$ de poids $\dfrac35$ et la branche $N$ de poids $\dfrac25$

• au second tirage, à partir de chacune de ces deux branches, la branche $B$ de poids $\dfrac35$ et la branche $N$ de poids $\dfrac25$.

On en déduit les probabilités des quatre issues, en multipliant les poids le long des branches :

Vérification : $\dfrac9{25}+\dfrac6{25}+\dfrac6{25}+\dfrac4{25}=1$.

Question 1. b)

Le joueur perd $9$ euros lorsque les deux jetons tirés sont blancs, c'est-à-dire lorsque l'évènement $BB$ est réalisé.

D'après l'arbre,

Donc la probabilité de perdre $9$ euros sur une partie est $\dfrac9{25}=0{,}36$.

Réponse : $P(BB)=\dfrac9{25}=0{,}36$.

Question 2. a)

L'urne contient maintenant $3$ jetons blancs et $N$ jetons noirs, soit $N+3$ jetons au total, avec $N\geqslant2$.

À chaque tirage, $P(B)=\dfrac3{N+3}$ et $P(N)=\dfrac N{N+3}$. Les tirages se font avec remise, donc ils sont indépendants.

La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-9$, $-1$ et $5$.

• $X=-9$ si les deux jetons sont blancs :

  $$P(X=-9)=\dfrac3{N+3}\times\dfrac3{N+3}=\dfrac9{(N+3)^2}.$$

• $X=-1$ si les deux jetons sont noirs :

  $$P(X=-1)=\dfrac N{N+3}\times\dfrac N{N+3}=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}.$$

• $X=5$ si les deux jetons sont de couleurs différentes, c'est-à-dire $BN$ ou $NB$. Ces deux issues sont incompatibles :

  $$P(X=5)=2\times\dfrac3{N+3}\times\dfrac N{N+3}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}.$$

Vérification : la somme des probabilités vaut

La loi de probabilité de $X$ est donc :

On en déduit l'espérance, utile pour la suite :

Donc $X$ prend les valeurs $-9$, $-1$ et $5$ avec les probabilités indiquées ci-dessus.

Question 2. b)

On étudie le trinôme $-x^{2}+30x-81$. Son discriminant est

Il admet donc deux racines réelles distinctes :

Le coefficient de $x^{2}$ est $-1<0$. Donc le trinôme est strictement positif entre ses deux racines et strictement négatif à l'extérieur.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $-x^{2}+30x-81>0$ est l'intervalle $]3\,;27[$.

Réponse : $\mathcal{S}=]3\,;27[$.

Question 2. c)

Le jeu est favorable au joueur si son gain moyen est strictement positif, c'est-à-dire si $E(X)>0$.

Comme $(N+3)^{2}>0$, le signe de $E(X)$ est celui de $-N^{2}+30N-81$. D'après la question 2. b),

Le nombre $N$ de jetons noirs est un entier. Donc $N\in\{4\,;5\,;\dots\,;26\}$.

Donc le jeu est favorable au joueur si l'urne contient entre $4$ et $26$ jetons noirs (bornes comprises).

Réponse : $4\leqslant N\leqslant26$.

Question 2. d)

On étudie la fonction $E$ définie sur $[2\,;+\infty[$ par

Elle est dérivable comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. On pose $u(x)=-x^{2}+30x-81$ et $v(x)=(x+3)^{2}$, avec $u'(x)=-2x+30$ et $v'(x)=2(x+3)$.

D'après la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$,

Pour $x\geqslant2$, $(x+3)^{3}>0$. Donc $E'(x)$ est du signe de $7-x$ :

• $E'(x)>0$ sur $[2\,;7[$, donc $E$ est strictement croissante sur $[2\,;7]$

• $E'(x)<0$ sur $]7\,;+\infty[$, donc $E$ est strictement décroissante sur $[7\,;+\infty[$.

La fonction $E$ admet donc un maximum en $x=7$, qui est un entier. Le gain moyen est maximal pour $N=7$, et vaut

Donc le joueur doit demander $7$ jetons noirs pour obtenir un gain moyen maximal, égal à $0{,}8$ euro par partie.

Réponse : $N=7$, avec un gain moyen de $0{,}8$ euro.

Question 3.

L'urne contient $7$ jetons noirs et $3$ jetons blancs, soit $10$ jetons. D'après la question 2. a), pour un joueur,

Soit $Y$ le nombre de joueurs qui gagnent $5$ euros parmi les $10$ joueurs. Chaque joueur effectue une partie, qui est une épreuve de Bernoulli de succès « gagner $5$ euros » de probabilité $0{,}42$. Les $10$ parties sont identiques et indépendantes. Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}42$.

L'évènement « au moins un joueur gagne $5$ euros » est l'évènement contraire de $\{Y=0\}$. Donc

Donc la probabilité qu'au moins un joueur gagne $5$ euros est environ $0{,}996$, arrondie au millième.

Réponse : $P(Y\geqslant1)=1-0{,}58^{10}\approx0{,}996$.

Points clés attendus

• Justifier l'indépendance des deux tirages par le tirage avec remise, et multiplier les poids le long des branches.

• Pour la loi de $X$, ne pas oublier le facteur $2$ pour les couleurs différentes (issues $BN$ et $NB$) et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

• Étudier le signe du trinôme avec le discriminant et le signe du coefficient de $x^{2}$, puis traduire en nombre entier de jetons.

• Dériver l'espérance comme quotient pour déterminer le nombre de jetons noirs donnant le gain moyen maximal.

• Justifier la loi binomiale ($10$ épreuves identiques et indépendantes, $p=0{,}42$) et passer par l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.