Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 4

Affirmation 1. Vraie.

Pour tout réel $x$, $1+\mathrm{e}^x>0$, donc les expressions sont bien définies. On met sur le même dénominateur :

On divise numérateur et dénominateur par $\mathrm{e}^x>0$ :

Donc l'égalité est vraie pour tout réel $x$ : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x+1>0$. On résout l'équation :

La dernière équivalence vient de $\mathrm{e}^0=1$ et de l'injectivité de la fonction exponentielle.

Donc l'équation $g(x)=\dfrac12$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, à savoir $0$ : l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $(uv)'=u'v+uv'$, $u(x)=x^2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, de dérivées $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ :

L'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est tangent à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ si et seulement si la tangente en ce point est horizontale et confondue avec l'axe, c'est-à-dire si $f'(a)=0$ et $f(a)=0$.

On a $f(a)=a^2\mathrm{e}^{-a}=0\iff a=0$ car $\mathrm{e}^{-a}>0$. De plus $f'(0)=0$.

Donc l'axe des abscisses est tangent à $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{O}(0\,;0)$, et en aucun autre point : l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

La fonction $h$ est dérivable deux fois sur $\mathbb{R}$. Avec $(uv)'=u'v+uv'$, $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=1-x^2$ :

On dérive à nouveau, avec $v(x)=1-2x-x^2$ et $v'(x)=-2-2x$ :

Comme $\mathrm{e}^x>0$, le signe de $h''(x)$ est celui de $-\left(x^2+4x+1\right)$.

Le trinôme $x^2+4x+1$ a pour discriminant $\Delta=16-4=12>0$ et pour racines

Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $h''$ est négative sur $]-\infty\,;x_1[$, positive sur $]x_1\,;x_2[$, négative sur $]x_2\,;+\infty[$ : elle s'annule en changeant de signe en $x_1$ et en $x_2$.

Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe (la convexité change). La courbe de $h$ admet donc deux points d'inflexion, d'abscisses $-2-\sqrt3$ et $-2+\sqrt3$ : l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Fausse.

Pour tout réel $x$, on divise numérateur et dénominateur par $\mathrm{e}^x>0$ :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}=0$. Donc le dénominateur tend vers $1$ et

La limite vaut $1$ et non $0$ : l'affirmation 5 est fausse.

Affirmation 6. Vraie.

Pour tout réel $x$, comme $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^x\right)^2$,

car un carré est positif.

Donc $1+\mathrm{e}^{2x}\geqslant 2\mathrm{e}^x$ pour tout réel $x$ : l'affirmation 6 est vraie.

Points clés attendus

• Pour une affirmation fausse, donner la raison précise (limite différente, nombre de points d'inflexion).

• Pour la tangente à l'axe des abscisses : écrire les deux conditions $f(a)=0$ et $f'(a)=0$.

• Pour le point d'inflexion : étudier le signe de $f''$ et vérifier le changement de signe.

• Lever la forme indéterminée de la limite en divisant par $\mathrm{e}^x$ et citer les croissances comparées.

• Reconnaître l'identité remarquable $\left(\mathrm{e}^x-1\right)^2$ pour l'inégalité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.