Bac 2022, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1.

Au bout d'une demi-heure, l'organisme élimine $10\,\%$ de la quantité présente, soit $0{,}1\times1=0{,}1$ mg.

Le patient reçoit ensuite une dose supplémentaire de $0{,}25$ mg.

Donc

Donc la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure est $1{,}15$ mg.

Réponse : $u_1=1{,}15$ mg.

Question 2.

Soit $n$ un entier naturel.

Éliminer $10\,\%$ de la quantité $u_n$ revient à la multiplier par $1-0{,}10=0{,}9$.

Il reste donc $0{,}9u_n$ mg dans le sang, auxquels s'ajoutent les $0{,}25$ mg de la dose supplémentaire.

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

Initialisation.

On a $u_0=1$ et $u_1=1{,}15$, donc $u_0\leqslant u_1<5$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<5$.

On multiplie chaque membre de l'hypothèse de récurrence par $0{,}9>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On ajoute $0{,}25$ à chaque membre :

D'après la relation de récurrence, $0{,}9u_k+0{,}25=u_{k+1}$ et $0{,}9u_{k+1}+0{,}25=u_{k+2}$.

De plus $0{,}9\times5+0{,}25=4{,}75$.

On obtient donc

Comme $4{,}75<5$, on en déduit $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}<5$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 3. b)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

• $u_n\leqslant u_{n+1}$, donc la suite $(u_n)$ est croissante

• $u_{n+1}<5$, donc la suite $(u_n)$ est majorée par $5$ (et $u_0=1<5$).

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4. a)

Le médicament est efficace dès que $u\geqslant1{,}8$.

On répète donc l'opération $u\leftarrow0{,}9u+0{,}25$, avec $n\leftarrow n+1$, tant que $u<1{,}8$.

Script complété :

def efficace():
    u=1
    n=0
    while u<1.8:
        u=0.9*u+0.25
        n=n+1
    return n

Question 4. b)

On calcule les termes successifs de la suite :

• $u_0=1$

• $u_1=1{,}15$

• $u_2=1{,}285$

• $u_3\approx1{,}4065$

• $u_4\approx1{,}5159$

• $u_5\approx1{,}6143$

• $u_6\approx1{,}7028$

• $u_7\approx1{,}7826$

• $u_8\approx1{,}8543$.

Tant que $n\leqslant7$, on a $u_n<1{,}8$ : la boucle continue.

Pour $n=8$, on a $u_8\approx1{,}8543\geqslant1{,}8$ : la condition du while n'est plus vérifiée et la boucle s'arrête.

La valeur renvoyée est donc $8$.

Interprétation : le médicament devient réellement efficace au bout de $8$ périodes de trente minutes, soit $4$ heures.

Réponse : le script renvoie $8$ (soit $4$ h).

Question 5. a)

Soit $n$ un entier naturel.

Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0{,}9$.

Son premier terme est $v_0=2{,}5-u_0=2{,}5-1=1{,}5$.

Réponse : $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $v_0=1{,}5$.

Question 5. b)

Une suite géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $1{,}5$ vérifie, pour tout entier naturel $n$,

Comme $v_n=2{,}5-u_n$, on a $u_n=2{,}5-v_n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 5. c)

Pour tout entier naturel $n$, on a $0{,}9^{n}>0$, donc $1{,}5\times0{,}9^{n}>0$.

Donc

De plus, comme $-1<0{,}9<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^{n}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2{,}5$.

Donc, d'après ce modèle, la quantité de médicament reste strictement inférieure à $2{,}5$ mg, donc inférieure à $3$ mg : le traitement ne présente pas de risque de toxicité pour le patient.

Réponse : non, il n'y a pas de risque, car $u_n<2{,}5<3$ pour tout $n$.

Partie B

Question 1.

On a $3$ h $45$ min $=3+\dfrac{45}{60}=3{,}75$ h.

On calcule

Or $1{,}791<1{,}8$.

Donc le médicament n'est pas encore réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min.

Réponse : non, $f(3{,}75)\approx1{,}791<1{,}8$.

Question 2.

On résout $f(t)\geqslant1{,}8$ pour $t\geqslant0$.

On a utilisé que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, puis qu'on divise par $-0{,}2<0$, ce qui change le sens de l'inégalité, et que $-\ln\left(\dfrac{7}{15}\right)=\ln\left(\dfrac{15}{7}\right)$.

À la calculatrice, $5\ln\left(\dfrac{15}{7}\right)\approx3{,}81$.

Comme $0{,}81\times60\approx48{,}6$, cela correspond à environ $3$ h $49$ min.

Donc, d'après ce modèle, le médicament devient réellement efficace au bout d'environ $3{,}81$ h, soit environ $3$ h $49$ min.

Réponse : $t\geqslant5\ln\left(\dfrac{15}{7}\right)\approx3{,}81$ h (environ $3$ h $49$ min).

Question 3.

Dans le modèle discret (partie A, question 4. b)), le médicament devient efficace au bout de $8$ périodes de trente minutes, soit $4$ h.

Dans le modèle continu, il devient efficace au bout d'environ $3$ h $49$ min.

Les deux résultats sont proches : l'écart est d'environ $11$ minutes.

Dans le modèle discret, la quantité n'est considérée qu'aux instants multiples de $30$ minutes : l'efficacité ne peut être constatée qu'à l'un de ces instants, ce qui explique que le résultat soit un peu plus grand que dans le modèle continu.

Donc le modèle continu donne un seuil d'efficacité légèrement plus précoce que le modèle discret.

Points clés attendus

• Traduire correctement l'évolution (coefficient $0{,}9$ puis ajout de $0{,}25$) pour établir $u_{n+1}=0{,}9u_n+0{,}25$.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec hypothèse énoncée, conclusion) en précisant que la multiplication par $0{,}9>0$ conserve l'ordre.

• Citer le théorème de convergence monotone avec ses deux hypothèses : suite croissante et majorée.

• Compléter le script Python et justifier la valeur renvoyée par le calcul des termes $u_7$ et $u_8$.

• Démontrer que $(v_n)$ est géométrique, en factorisant par $0{,}9$, puis en déduire $u_n$ et le majorant.

• Résoudre l'inéquation exponentielle avec le logarithme, en tenant compte du changement de sens par $-0{,}2<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.