Bac 2022, Asie : exercice 1

Question 1. a)

Si la case obtenue est blanche, le joueur extrait un seul jeton du sac.

Le sac contient $5$ jetons numérotés $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$, tous équiprobables lors de l'extraction.

Trois d'entre eux portent un numéro impair : les jetons $1$, $3$ et $5$.

On en déduit la probabilité que le jeton extrait soit impair, c'est-à-dire la probabilité de gagner sachant que la case est blanche :

Donc, si la case obtenue est blanche, le joueur gagne avec la probabilité $0{,}6$.

Réponse : $P_B(G)=\dfrac35=0{,}6$.

Question 1. b)

La roue comporte $4+8=12$ cases, toutes équiprobables, dont $4$ blanches et $8$ rouges.

Donc

D'après la question précédente, $P_B(G)=0{,}6$.

Les évènements $G$ et $\overline{G}$ sont contraires, donc

Si la case est rouge, le joueur gagne lorsque les deux jetons tirés successivement et sans remise sont impairs.

D'après l'énoncé (valeur admise), cette probabilité vaut $0{,}3$ : $P_R(G)=0{,}3$.

Donc

L'arbre pondéré à recopier se compose de deux branches issues de la racine, puis de deux branches issues de chacun des nœuds $B$ et $R$ :

• $P(B)=\dfrac13$, puis $P_B(G)=0{,}6$ et $P_B(\overline{G})=0{,}4$

• $P(R)=\dfrac23$, puis $P_R(G)=0{,}3$ et $P_R(\overline{G})=0{,}7$.

Donc l'arbre est complété par ces six probabilités.

Réponse : $P(B)=\dfrac13$   $P(R)=\dfrac23$   $P_B(G)=0{,}6$   $P_B(\overline{G})=0{,}4$   $P_R(G)=0{,}3$   $P_R(\overline{G})=0{,}7$.

Question 2. a)

Les évènements $B$ et $R$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

Donc la probabilité que le joueur gagne une partie est bien $P(G)=0{,}4$.

Question 2. b)

On cherche la probabilité que la case soit blanche sachant que le joueur a gagné, c'est-à-dire $P_G(B)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P(G)\neq 0$ :

On a $P(B\cap G)=P(B)\times P_B(G)=\dfrac13\times0{,}6=0{,}2$ et $P(G)=0{,}4$.

Donc

Donc, sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait obtenu une case blanche est $0{,}5$.

Réponse : $P_G(B)=0{,}5$.

Question 3.

Deux évènements $B$ et $G$ sont indépendants si et seulement si $P(B\cap G)=P(B)\times P(G)$.

On a calculé $P(B\cap G)=0{,}2$.

D'autre part

Or $0{,}2\neq\dfrac{2}{15}$, donc $P(B\cap G)\neq P(B)\times P(G)$.

Autre vérification : $P_B(G)=0{,}6$ est différent de $P(G)=0{,}4$.

Donc les évènements $B$ et $G$ ne sont pas indépendants.

Question 4. a)

Chaque partie est une épreuve de Bernoulli : deux issues seulement, le succès « le joueur gagne la partie » de probabilité $p=0{,}4$ d'après la question 2. a).

Les dix parties sont identiques, puisque la roue est relancée et que les jetons sont remis dans le sac après chaque partie : la probabilité de gagner est la même à chaque partie.

Elles sont indépendantes : le résultat d'une partie n'influe pas sur les suivantes, puisque le sac retrouve sa composition initiale.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans la répétition de $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès $0{,}4$.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}4$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$.

Question 4. b)

Pour la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$ :

On a $\binom{10}{3}=120$, donc

Donc la probabilité que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix est environ $0{,}215$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X=3)\approx0{,}215$.

Question 4. c)

L'évènement $\{X\geqslant4\}$ est le contraire de $\{X\leqslant3\}$, donc

À la calculatrice, $P(X\leqslant3)\approx0{,}38228$.

Donc

Interprétation : en jouant dix parties, le joueur a environ $61{,}8\,\%$ de chances d'en gagner au moins quatre.

Réponse : $P(X\geqslant4)\approx0{,}618$ (arrondie au millième).

Question 5. a)

On note $X_n$ le nombre de parties gagnées sur $n$ parties.

Comme à la question 4. a), il s'agit de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès $0{,}4$ : $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}4)$.

L'évènement contraire de « gagner au moins une partie » est « ne gagner aucune partie », c'est-à-dire $\{X_n=0\}$.

Donc

Donc $p_n=1-0{,}6^{n}$.

Question 5. b)

On résout l'inéquation $p_n\geqslant0{,}99$ d'inconnue l'entier naturel $n$.

On a utilisé que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, puis, à la dernière équivalence, que $\ln(0{,}6)<0$ car $0<0{,}6<1$ : on divise par un nombre strictement négatif, ce qui change le sens de l'inégalité.

À la calculatrice, $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}6)}\approx9{,}02$.

Donc les entiers solutions sont les entiers $n\geqslant10$.

Vérification : $0{,}6^{9}\approx0{,}01008>0{,}01$ et $0{,}6^{10}\approx0{,}00605\leqslant0{,}01$.

Donc la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0{,}99$ est $n=10$.

Réponse : $n=10$.

Points clés attendus

• Traduire l'énoncé en probabilités ($P(B)$, $P(R)$, $P_B(G)$, $P_R(G)$) et citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{B\,;R\}$.

• Calculer $P_G(B)$ avec la définition de la probabilité conditionnelle, et conclure sur l'indépendance en comparant $P(B\cap G)$ et $P(B)\times P(G)$.

• Justifier la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (jetons remis dans le sac), puis donner $n=10$ et $p=0{,}4$.

• Passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant4)$ et pour « au moins une partie gagnée ».

• Résoudre l'inéquation avec le logarithme en précisant le changement de sens dû à $\ln(0{,}6)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.