Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

• $P(D)=0{,}01$, donc $P(\overline{D})=1-0{,}01=0{,}99$

• si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de $0{,}97$ : $P_D(A)=0{,}97$, donc $P_D(\overline{A})=0{,}03$

• $P(A)=0{,}01465$.

L'arbre pondéré comporte donc deux branches issues de la racine, $D$ (de poids $0{,}01$) et $\overline{D}$ (de poids $0{,}99$).

De $D$ partent deux branches : $A$ (de poids $0{,}97$) et $\overline{A}$ (de poids $0{,}03$).

De $\overline{D}$ partent deux branches : $A$ et $\overline{A}$, de poids $P_{\overline{D}}(A)$ et $P_{\overline{D}}(\overline{A})=1-P_{\overline{D}}(A)$, que l'on complète à la question 3 : $P_{\overline{D}}(A)=0{,}005$ et $P_{\overline{D}}(\overline{A})=0{,}995$.

Question 2. a)

D'après la formule des probabilités conditionnelles, $P(D\cap A)=P(D)\times P_D(A)$. Donc

Donc la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active est $0{,}0097$.

Réponse : $P(D\cap A)=0{,}0097$.

Question 2. b)

On cherche $P_A(D)$. Comme $P(A)=0{,}01465\neq0$, la définition de la probabilité conditionnelle donne

Donc, sachant que l'alarme s'active, la probabilité qu'un danger se présente est environ $0{,}662$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_A(D)=\dfrac{0{,}0097}{0{,}01465}\approx0{,}662$.

Question 3.

Les évènements $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers, avec $P(D)\neq0$ et $P(\overline{D})\neq0$).

D'après la formule des probabilités totales,

On en déduit

Comme $P(\overline{D})=0{,}99\neq0$, on a

Donc la probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté est $0{,}005$.

Question 4.

L'évènement « l'alarme ne fonctionne pas normalement » est

Les évènements $D\cap\overline{A}$ et $\overline{D}\cap A$ sont incompatibles (le premier est inclus dans $D$, le second dans $\overline{D}$). Donc

On calcule chaque terme :

Donc

Or $0{,}00525<0{,}01$.

Donc la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est $0{,}00525$, qui est inférieure à $0{,}01$.

Partie B

Question 1.

On prélève successivement $5$ systèmes d'alarme, et ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. On répète donc $5$ fois la même épreuve, et ces épreuves sont indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : le système ne fonctionne pas normalement (succès $S$, de probabilité $p=0{,}00525$) ou il fonctionne normalement. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}00525$.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans cette répétition de $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}00525$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}00525)$.

Question 2.

D'après la formule de la loi binomiale, $P(X=k)=\binom5k p^k(1-p)^{5-k}$. Pour $k=1$ :

À la calculatrice, on obtient $P(X=1)\approx0{,}0257$.

Donc la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système ne fonctionne pas normalement est environ $0{,}0257$ (arrondie à $10^{-4}$).

Réponse : $P(X=1)=5\times0{,}00525\times0{,}99475^4\approx0{,}0257$.

Question 3.

L'évènement « au moins un système ne fonctionne pas normalement » est $\{X\geqslant1\}$, dont le contraire est $\{X=0\}$. Donc

On a

Donc

Donc la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système ne fonctionne pas normalement est environ $0{,}0260$ (arrondie à $10^{-4}$).

Réponse : $P(X\geqslant1)=1-0{,}99475^5\approx0{,}0260$.

Partie C

Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre $X_n$ de systèmes ne fonctionnant pas normalement parmi les $n$ systèmes prélevés suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}00525$ (mêmes justifications qu'en partie B : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, tirage avec remise).

La probabilité d'avoir au moins un système qui ne fonctionne pas normalement est

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}99475^n>0{,}07$.

On transforme l'inéquation :

Comme $0<0{,}99475<1$, on a $\ln(0{,}99475)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier strictement supérieur à $13{,}79$ est $14$.

Vérification : $1-0{,}99475^{13}\approx0{,}0661<0{,}07$ et $1-0{,}99475^{14}\approx0{,}0710>0{,}07$.

Donc le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'avoir au moins un système qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0{,}07$ est $14$.

Réponse : $n=14$.

Points clés attendus

• Traduire les données en $P(D)$, $P_D(A)$, $P(A)$ et construire l'arbre pondéré.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{D,\overline{D}\}$ pour obtenir $P_{\overline{D}}(A)$.

• Décomposer l'évènement « alarme défaillante » en deux évènements incompatibles.

• Loi binomiale : justifier les $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donner $n$ et $p$.

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins un ».

• Inéquation en $n$ : résoudre avec le logarithme en changeant le sens de l'inégalité (car $\ln(0{,}99475)<0$).

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