Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 4

Question 1. a)

L'espace est muni du repère orthonormé d'origine $A$ avec $B(5\,;0\,;0)$, $D(0\,;3\,;0)$ et $E(0\,;0\,;2)$. Le parallélépipède est rectangle, donc :

• $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$, d'où $H(0\,;3\,;2)$

• $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$, d'où $G(5\,;3\,;2)$.

On en déduit aussi $C(5\,;3\,;0)$, qui sert dans la suite.

Réponse : $H(0\,;3\,;2)$ et $G(5\,;3\,;2)$.

Question 1. b)

On calcule le vecteur

Ce vecteur non nul dirige la droite $(GH)$, qui passe par $H(0\,;3\,;2)$.

Donc une représentation paramétrique de $(GH)$ est

Réponse : $\left\{\begin{array}{l}x=5t\\y=3\\z=2\end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}$.

Question 2. a)

Soit $M(x\,;y\,;z)$ tel que $\overrightarrow{HM}=k\overrightarrow{HG}$.

On a $\overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}x-0\\y-3\\z-2\end{pmatrix}$ et $k\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}5k\\0\\0\end{pmatrix}$.

L'égalité des coordonnées donne $x=5k$, $y-3=0$ et $z-2=0$, soit $x=5k$, $y=3$, $z=2$.

Donc $M$ a pour coordonnées $(5k\,;3\,;2)$.

Question 2. b)

On a $A(0\,;0\,;0)$ et $C(5\,;3\,;0)$. On calcule :

Le repère est orthonormé, donc le produit scalaire s'obtient avec les coordonnées :

Donc $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}=25k^2-25k+4$.

Question 2. c)

Le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MC}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}=0$ (car $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}$).

On résout donc $25k^2-25k+4=0$.

Le discriminant est

L'équation admet deux solutions :

Ces deux valeurs appartiennent à l'intervalle $[0\,;1]$, donc elles sont acceptables.

Donc le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ pour $k=0{,}2$ et pour $k=0{,}8$.

Réponse : $k=0{,}2$ ou $k=0{,}8$.

Question 3. a)

Les points $A(0\,;0\,;0)$, $C(5\,;3\,;0)$ et $D(0\,;3\,;0)$ ont tous une cote nulle.

Ils ne sont pas alignés : $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de $\overrightarrow{AD}$ est nulle, pas celle de $\overrightarrow{AC}$). Ils définissent donc un unique plan.

Ce plan contient trois points du plan d'équation $z=0$, donc c'est ce plan : le plan $(ACD)$ a pour équation $z=0$, de vecteur normal $\vec{k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Réponse : $(ACD)\,:\,z=0$.

Question 3. b)

Le point $K(1\,;3\,;0)$ a une cote nulle : $K\in(ACD)$.

On calcule $\overrightarrow{KM}\begin{pmatrix}1-1\\3-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=2\vec{k}$.

Le vecteur $\overrightarrow{KM}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{k}$ du plan $(ACD)$, donc la droite $(KM)$ est perpendiculaire à $(ACD)$.

Donc $K$ est le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(ACD)$.

Question 3. c)

On prend pour base du tétraèdre $MACD$ le triangle $ACD$, contenu dans le plan $(ACD)$.

Ce triangle est rectangle en $D$ : $\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$ ont un produit scalaire nul. On a $DA=3$ et $DC=5$, donc son aire est

La hauteur relative à cette base est la distance de $M$ au plan $(ACD)$, c'est-à-dire $MK$ d'après la question 3. b) :

D'après la formule du volume d'un tétraèdre,

Donc le volume du tétraèdre $MACD$ est $5$ (en unités de volume).

Réponse : $V_{MACD}=5$.

Question 4.

Le point $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(AMC)$, donc $DP$ est la distance de $D$ à ce plan.

Le tétraèdre $MACD$ est aussi le tétraèdre $DAMC$. En le prenant de base le triangle $AMC$, la hauteur relative à cette base est $DP$. On a donc

On calcule l'aire de $AMC$, triangle rectangle en $M$ (admis dans l'énoncé), avec $M(1\,;3\,;2)$ :

On a $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=-4+0+4=0$, ce qui confirme l'angle droit en $M$.

Les longueurs sont

Donc

On remplace dans l'égalité des volumes, avec $V_{MACD}=5$ (question 3. c)) :

À la calculatrice, $DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}}\approx1{,}79$, soit $1{,}8$ à $10^{-1}$ près.

Donc la distance $DP$ vaut $\dfrac{15}{\sqrt{70}}$, soit environ $1{,}8$ (arrondie au dixième).

Réponse : $DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}}\approx1{,}8$.

Points clés attendus

• Lire les coordonnées de $H$ et $G$ avec les vecteurs du repère, et donner une représentation paramétrique à partir d'un point et d'un vecteur directeur.

• Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée avant le produit scalaire, et traduire « rectangle en $M$ » par un produit scalaire nul.

• Résoudre l'équation du second degré (discriminant) et vérifier que les solutions sont dans $[0\,;1]$.

• Plan $(ACD)$ : justifier que les trois points ne sont pas alignés, puis donner son équation.

• Projeté orthogonal : montrer que $\overrightarrow{KM}$ est colinéaire au vecteur normal et que $K$ est dans le plan.

• Volume calculé de deux façons (bases $ACD$ puis $AMC$) pour obtenir la distance $DP$, avec la formule citée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.