Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 2

Question 1. a)

On a $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac15u_n^2$.

Pour $n=0$ :

Pour $n=1$ :

Réponse : $u_1=\dfrac{16}5=3{,}2$ et $u_2=\dfrac{256}{125}=2{,}048$.

Question 1. b)

La variable u est initialisée à $u_0=4$.

La boucle for i in range(1, p+1) effectue $p$ passages, pour i variant de $1$ à $p$. À chaque passage, u passe de $u_{i-1}$ à $u_i=\dfrac{u_{i-1}^2}5$.

À la sortie de la boucle, u vaut donc $u_p$.

Fonction complétée :

def suite_u(p) :
    u = 4
    for i in range(1, p+1) :
        u = u**2/5
    return u

Vérification : pour $p=2$, la boucle effectue deux passages et la fonction renvoie $\dfrac{256}{125}=2{,}048$, valeur de $u_2$.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $0<u_n\leqslant4$.

Initialisation.

On a $u_0=4$, donc $0<u_0\leqslant4$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $0<u_k\leqslant4$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $0<u_{k+1}\leqslant4$.

La fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et les nombres $0$, $u_k$ et $4$ sont positifs. On élève donc au carré chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

On multiplie par $\dfrac15>0$, ce qui conserve le sens :

C'est-à-dire $0<u_{k+1}\leqslant\dfrac{16}5$. Comme $\dfrac{16}5=3{,}2\leqslant4$, on obtient

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n\leqslant4$.

Question 2. b)

Pour tout entier naturel $n$,

D'après la question précédente, $u_n>0$, donc $\dfrac{u_n}5>0$.

D'après la question précédente également, $u_n\leqslant4$, donc $u_n-5\leqslant-1<0$.

Le produit d'un nombre strictement positif et d'un nombre strictement négatif est strictement négatif, donc

Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Question 2. c)

D'après la question 2. b), la suite $(u_n)$ est décroissante.

D'après la question 2. a), pour tout $n$, on a $u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Donc la suite $(u_n)$ converge.

Question 3. a)

Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, qui existe d'après la question 2. c).

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et, la suite $(u_{n+1})$ étant la suite $(u_n)$ décalée d'un rang, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\ell$.

La fonction $x\mapsto\dfrac15x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme). Donc

Par unicité de la limite, en passant à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=\dfrac15u_n^2$, on obtient

Question 3. b)

On résout l'équation :

Pour tout $n$, on a $u_n\leqslant4$. Par passage à la limite dans les inégalités larges, $\ell\leqslant4$. Donc $\ell\neq5$.

Donc $\ell=0$.

Réponse : $\ell=0$.

Question 4. a)

D'après la question 2. a), $u_n>0$ pour tout $n$, donc $v_n=\ln(u_n)$ est bien défini.

Pour tout entier naturel $n$, on utilise $\ln(a^2)=2\ln(a)$ pour $a>0$ et $\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n-\ln(5)$.

Question 4. b)

Pour tout entier naturel $n$,

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$.

Question 4. c)

Le premier terme de la suite $(w_n)$ est

Une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $w_0$ vérifie $w_n=w_0\times2^n$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Comme $w_n=v_n-\ln(5)$, on a $v_n=w_n+\ln(5)$, d'où

Donc $w_n=\ln\left(\dfrac45\right)\times2^n$ et $v_n=\ln\left(\dfrac45\right)\times2^n+\ln(5)$ pour tout entier naturel $n$.

Question 5.

On a $0<\dfrac45<1$, donc $\ln\left(\dfrac45\right)<0$.

On a $2>1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$.

Par produit d'un réel strictement négatif par une suite de limite $+\infty$,

En ajoutant la constante $\ln(5)$, on obtient

Pour tout $n$, $u_n=\mathrm{e}^{v_n}$. Comme $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^X=0$, par limite d'une composée,

On retrouve la valeur de $\ell$ obtenue à la question 3. b).

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Points clés attendus

• Compléter la fonction Python (initialisation à $4$, borne p+1, relation de récurrence) et justifier le nombre de passages.

• Récurrence : énoncer l'hypothèse, citer la croissance de la fonction carré sur $\mathbb{R}_+$.

• Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en factorisant, puis citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée).

• Passage à la limite dans la relation de récurrence (continuité), résolution de $\ell=\frac15\ell^2$ et élimination de $\ell=5$ grâce à $u_n\leqslant4$.

• Suite auxiliaire : justifier $u_n>0$ pour définir $\ln(u_n)$, établir la relation géométrique et en déduire $v_n$.

• Retrouver $\lim u_n$ par limite d'une composée avec l'exponentielle.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.