Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 3

Partie A

Question 1.

On calcule, avec $\ln(\mathrm{e})=1$ :

Or $\mathrm{e}>1$, donc $\mathrm{e}^2>1$, soit $1-\mathrm{e}^2<0$.

Donc $g(\mathrm{e})=1-\mathrm{e}^2<0$ : $g(\mathrm{e})$ est strictement négatif.

Question 2.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left[1-2\ln(x)\right]=-\infty$.

Par produit de limites,

Par somme avec la constante $1$,

Question 3. a)

Pour tout $x>0$, on développe : $g(x)=1+x^2-2x^2\ln(x)$.

La fonction $x\mapsto x^2\ln(x)$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x^2$, $v(x)=\ln(x)$, dérivables sur $]0\,;+\infty[$, de dérivées $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

Donc, pour tout $x>0$,

Donc, pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $g'(x)=-4x\ln(x)$.

Question 3. b)

Pour $x>0$, on a $-4x<0$. Donc $g'(x)$ est du signe contraire de $\ln(x)$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $\ln(1)=0$. Donc :

• pour $0<x<1$, $\ln(x)<0$, donc $g'(x)>0$

• pour $x=1$, $g'(1)=0$

• pour $x>1$, $\ln(x)>0$, donc $g'(x)<0$.

On en déduit :

• $g$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$

• $g$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

Le maximum est atteint en $x=1$ et vaut $g(1)=1+1^2\left[1-2\ln(1)\right]=1+1=2$.

Donc $g$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$, strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$, et admet pour maximum $g(1)=2$.

Question 3. c)

Sur l'intervalle $[1\,;+\infty[$ :

• $g$ est dérivable, donc continue

• $g$ est strictement décroissante (question 3. b))

• $g(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, donc $g$ prend des valeurs strictement négatives. Le nombre $0$ appartient donc à l'intervalle image $g\left([1\,;+\infty[\right)=]-\infty\,;2]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans sa version pour les fonctions continues et strictement monotones (théorème de la bijection), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1\,;+\infty[$.

Question 3. d)

À la calculatrice (ou par balayage), on obtient

Comme $g$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ et que $g(\alpha)=0$, on a $g(1{,}89)>g(\alpha)>g(1{,}90)$, donc $1{,}89<\alpha<1{,}90$.

Donc un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est $1{,}89<\alpha<1{,}90$.

Réponse : $1{,}89<\alpha<1{,}90$.

Question 4.

Sur $[1\,;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement décroissante et $g(\alpha)=0$. Donc :

• pour $1\leqslant x<\alpha$, $g(x)>g(\alpha)=0$

• pour $x=\alpha$, $g(x)=0$

• pour $x>\alpha$, $g(x)<g(\alpha)=0$.

Donc $g$ est strictement positive sur $[1\,;\alpha[$, nulle en $\alpha$, et strictement négative sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1.

On admet que, pour tout $x\in[1\,;\alpha]$, $g''(x)=-4\left[\ln(x)+1\right]$.

Pour $x\in[1\,;\alpha]$, on a $x\geqslant1$, donc $\ln(x)\geqslant\ln(1)=0$ car $\ln$ est croissante.

Donc $\ln(x)+1\geqslant1>0$, et ainsi

La dérivée seconde $g''$ est strictement négative sur $[1\,;\alpha]$.

Donc la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[1\,;\alpha]$.

Question 2. a)

D'après la figure, $A$ et $B$ sont les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $1$ et $\alpha$.

On a $g(1)=2$, donc $A(1\,;2)$.

On a $g(\alpha)=0$, donc $B(\alpha\,;0)$.

Les abscisses $1$ et $\alpha$ sont distinctes ($\alpha>1$), donc la droite $(AB)$ n'est pas verticale. Son coefficient directeur est

La droite $(AB)$ passe par $A(1\,;2)$, donc elle a pour équation $y=m(x-1)+2$. D'où

Vérification avec $B$ : pour $x=\alpha$, on obtient $\dfrac{-2\alpha+2\alpha}{\alpha-1}=0=y_B$.

Donc l'équation réduite de $(AB)$ est $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.

Réponse : $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.

Question 2. b)

D'après la question 1 de la partie B, la fonction $g$ est concave sur $[1\,;\alpha]$.

Or, pour une fonction concave sur un intervalle, la courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses cordes sur cet intervalle. La corde d'extrémités $A$ et $B$ est le segment $[AB]$, porté par la droite $(AB)$.

Donc, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1\,;\alpha]$, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(AB)$ :

Points clés attendus

• Calculer $g(\mathrm{e})$ en utilisant $\ln(\mathrm{e})=1$ et conclure sur le signe.

• Dériver avec la formule du produit après développement, et justifier le signe de $g'$ par celui de $\ln(x)$ avec le facteur $-4x<0$.

• Théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection) : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes ($g(1)=2$ et limite $-\infty$), puis unicité de $\alpha$.

• Encadrement de $\alpha$ justifié par le signe de $g(1{,}89)$ et de $g(1{,}90)$ et la décroissance de $g$.

• Concavité : signe de $g''$ justifié sur $[1\,;\alpha]$, puis propriété de la corde pour l'inégalité finale.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.