Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 3

Question 1. a) Montrons que le triangle JKL est rectangle en J. Il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{JK}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{JL}}$ sont orthogonaux.

On calcule leurs coordonnées :

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule coordonnée par coordonnée :

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{JK}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{JL}}$ sont non nuls et orthogonaux.

Donc le triangle JKL est rectangle en J.

Question 1. b) Le triangle JKL est rectangle en J, donc son aire est le demi-produit des longueurs des côtés de l'angle droit.

On calcule ces longueurs :

Donc

Donc l'aire du triangle JKL est $\dfrac{\sqrt{145}}{2}$ cm$^2$.

Réponse : $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}$ cm$^2$.

Question 1. c) On calcule l'angle $\widehat{\mathrm{JKL}}$ avec le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{KJ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KL}}=\mathrm{KJ}\times\mathrm{KL}\times\cos\widehat{\mathrm{JKL}}$.

On a

Donc

Les longueurs sont $\mathrm{KJ}=\sqrt{1+4+0}=\sqrt5$ et $\mathrm{KL}=\sqrt{9+16+9}=\sqrt{34}$. Donc

L'angle géométrique $\widehat{\mathrm{JKL}}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, donc

Donc l'angle $\widehat{\mathrm{JKL}}$ mesure environ $67{,}5^\circ$.

Réponse : $\widehat{\mathrm{JKL}}\approx 67{,}5^\circ$.

Question 2. a) Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan.

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{JK}}(-1\,;2\,;0)$ et $\overrightarrow{\mathrm{JL}}(-4\,;-2\,;-3)$ ne sont pas colinéaires : ils sont non nuls et orthogonaux d'après la question 1. a). Ils dirigent donc le plan (JKL).

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}(6\,;3\,;-10)$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (JKL).

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (JKL).

Question 2. b) Le plan (JKL) a pour vecteur normal $\vec{n}(6\,;3\,;-10)$, donc il admet une équation cartésienne de la forme

Le point $\mathrm{J}(2\,;0\,;1)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Une équation cartésienne du plan (JKL) est donc

Vérification avec les autres points : pour K, $6+6-10-2=0$   pour L, $-12-6+20-2=0$.

Réponse : $6x+3y-10z-2=0$.

Question 3. a) La droite $\Delta$ est orthogonale au plan (JKL), donc le vecteur normal $\vec{n}(6\,;3\,;-10)$ est un vecteur directeur de $\Delta$. La droite passe par $\mathrm{T}(10\,;9\,;-6)$.

Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc

Question 3. b) Le projeté orthogonal H de T sur le plan (JKL) est le point d'intersection de la droite $\Delta$ (perpendiculaire au plan passant par T) et du plan (JKL).

Les coordonnées de H vérifient l'équation du plan avec les coordonnées paramétrées de $\Delta$ :

En remplaçant $t$ par $-1$ dans la représentation paramétrique : $x=4$, $y=6$, $z=-6+10=4$.

Donc $\mathrm{H}(4\,;6\,;4)$.

Vérification : $6\times 4+3\times 6-10\times 4-2=24+18-40-2=0$.

Réponse : $\mathrm{H}(4\,;6\,;4)$.

Question 3. c) On prend pour base le triangle JKL, d'aire $\mathcal{B}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}$ cm$^2$. La hauteur correspondante est la distance de T au plan (JKL), c'est-à-dire $h=\mathrm{TH}$, puisque H est le projeté orthogonal de T sur ce plan.

On a

D'après la formule $V=\dfrac13\,\mathcal{B}\times h$,

Donc le volume du tétraèdre JKLT est $\dfrac{145}{6}$ cm$^3$.

Réponse : $V=\dfrac{145}{6}$ cm$^3$.

Points clés attendus

• Établir l'angle droit par un produit scalaire nul, avec des vecteurs non nuls.

• Utiliser $\overrightarrow{\mathrm{KJ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KL}}=\mathrm{KJ}\times\mathrm{KL}\times\cos\widehat{\mathrm{JKL}}$ pour l'angle, avec un arrondi au dixième.

• Pour un vecteur normal : l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan, puis déterminer $d$ avec les coordonnées de J.

• Obtenir H comme intersection de la droite $\Delta$ et du plan, en résolvant l'équation en $t$.

• Identifier la hauteur du tétraèdre à $\mathrm{TH}$ et citer la formule du volume.

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