Bac 2022, Amérique du Nord : exercice 2

Question 1. a) Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $T_n\geqslant 20$.

Initialisation. On a $T_0=180\geqslant 20$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $T_{k+1}\geqslant 20$.

On multiplie les deux membres de l'hypothèse de récurrence par $0{,}955>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $0{,}9$ aux deux membres :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $T_n\geqslant 20$.

Question 1. b) Pour tout entier naturel $n$,

car $-0{,}045\times(-20)=0{,}9$.

D'après la question 1. a), $T_n-20\geqslant 0$, et $-0{,}045<0$. Donc $T_{n+1}-T_n\leqslant 0$ pour tout $n$.

Donc la suite $(T_n)$ est décroissante.

Question 1. c) La suite $(T_n)$ est décroissante (question 1. b) et minorée par $20$ (question 1. a).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(T_n)$ est convergente.

Question 2. a) Pour tout entier naturel $n$,

car $0{,}955\times 20=19{,}1$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0{,}955$. Son premier terme est $u_0=T_0-20=160$.

Question 2. b) Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\,q^n$. Donc

Comme $u_n=T_n-20$, on obtient pour tout entier naturel $n$

Question 2. c) On a $-1<0{,}955<1$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}955^n=0$, puis $\lim\limits_{n\to+\infty}160\times 0{,}955^n=0$.

Par somme,

Donc la suite $(T_n)$ converge vers $20$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}T_n=20$.

Question 2. d) Résolvons $T_n\leqslant 120$ d'inconnue $n\in\mathbb{N}$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc on peut l'appliquer aux deux membres en conservant le sens de l'inégalité :

Comme $0{,}955<1$, on a $\ln(0{,}955)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Les entiers solutions sont donc les entiers $n\geqslant 11$.

Vérification : $T_{10}\approx 120{,}96>120$ et $T_{11}\approx 116{,}42\leqslant 120$.

Donc l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels $n\geqslant 11$.

Réponse : $n\geqslant 11$.

Question 3. a) La suite $(T_n)$ modélise la température au centre du gâteau, qui refroidit dans une pièce dont l'air ambiant est à $20$ °C. D'après la loi de refroidissement de Newton, la température du gâteau se rapproche de celle de l'air ambiant sans pouvoir descendre en dessous.

Donc il était prévisible que $(T_n)$ tende vers $20$, la température de l'air ambiant, ce qui est bien le résultat de la question 2. c).

Question 3. b) La fonction temp(x) part de $T=180$ et $n=0$. Tant que $T>x$, elle remplace $T$ par $0{,}955\,T+0{,}9$ (c'est-à-dire passe de $T_n$ à $T_{n+1}$) et augmente $n$ de $1$. Elle renvoie donc le plus petit entier $n$ tel que $T_n\leqslant x$.

Avec $x=120$, d'après la question 2. d), ce plus petit entier est $11$.

Donc temp(120) renvoie $11$.

Interprétation : c'est au bout de $11$ minutes que la température au centre du gâteau devient pour la première fois inférieure ou égale à $120$ °C.

Réponse : temp(120) renvoie $11$.

Points clés attendus

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée).

• Établir la nature géométrique de $(u_n)$ par le calcul de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, avec la raison et le premier terme.

• Changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}955)<0$ dans la résolution de $T_n\leqslant 120$.

• Interpréter la limite et le résultat de temp(120) dans le contexte du refroidissement.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.