Bac 2026, Polynésie : exercice 3

Question 1. a) On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

Supposons que ces vecteurs soient colinéaires. Comme $\overrightarrow{AC}\neq\vec{0}$, il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$.

La première coordonnée donnerait $2=-4k$, soit $k=-\dfrac12$.

La deuxième coordonnée donnerait alors $-7=k\times 1=-\dfrac12$, ce qui est faux.

Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 1. b) Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}$ est non nul. On calcule ses produits scalaires avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1. a)).

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 1. c) Le plan (ABC) admet le vecteur normal $\vec{n}(6\,;-2\,;13)$ : il possède donc une équation cartésienne de la forme

Le point A$(-1\,;1\,;1)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x-2y+13z-5=0$.

Vérification avec B : $6\times 1-2\times(-6)+13\times(-1)-5=6+12-13-5=0$.

Vérification avec C : $6\times(-5)-2\times 2+13\times 3-5=-30-4+39-5=0$.

Question 2. Le plan $(P)$ a pour équation $8x-2y-4z+18=0$ : un vecteur normal à $(P)$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}8\\-2\\-4\end{pmatrix}$.

On calcule :

Les vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{m}$ sont orthogonaux.

Donc, d'après la propriété admise, les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires.

Question 3. Le point de $(d)$ de paramètre $t$ appartient au plan (ABC) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan :

Cette équation du premier degré en $t$ admet une unique solution : la droite $(d)$ coupe le plan (ABC) en un unique point, obtenu pour $t=1$.

Ses coordonnées sont $x=-4+1=-3$, $y=-11+6=-5$ et $z=2-1=1$.

Donc la droite $(d)$ coupe le plan (ABC) en un unique point E$(-3\,;-5\,;1)$.

Question 4. a) Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\6\\-1\end{pmatrix}$ (coefficients de $t$).

Le point H appartient à $(d)$ : pour $t=2$, on obtient $x=-4+2=-2$, $y=-11+12=1$ et $z=2-2=0$, c'est-à-dire H$(-2\,;1\,;0)$.

On calcule $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}-2-(-1)\\1-1\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}$, puis

Donc H est un point de $(d)$ tel que la droite $(AH)$ est orthogonale à $(d)$.

Donc H est le projeté orthogonal de A sur la droite $(d)$.

Question 4. b) Le projeté orthogonal de A sur $(d)$ est le point de $(d)$ le plus proche de A : la distance de A à la droite $(d)$ est donc la longueur AH.

Donc la distance du point A à la droite $(d)$ est $\sqrt{2}$.

Réponse : $AH=\sqrt{2}$.

Question 4. c) Les points E et H appartiennent à $(d)$. On a $\overrightarrow{HE}\begin{pmatrix}-3-(-2)\\-5-1\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-6\\1\end{pmatrix}=-\vec{u}$, donc $\overrightarrow{HE}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

On en déduit

Donc le triangle AHE est rectangle en H.

Ses côtés de l'angle droit mesurent $AH=\sqrt{2}$ et $HE=\sqrt{(-1)^{2}+(-6)^{2}+1^{2}}=\sqrt{38}$.

L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit :

Donc le triangle AHE est rectangle en H et son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant de conclure que A, B, C ne sont pas alignés.

• Pour un vecteur normal : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Déterminer le coefficient $d$ de l'équation cartésienne en utilisant les coordonnées d'un point du plan, et idéalement vérifier avec un autre point.

• Résoudre l'équation en $t$ pour trouver le point d'intersection, et noter que l'unicité vient du fait qu'elle admet une seule solution.

• Projeté orthogonal : point de la droite avec $\overrightarrow{AH}$ orthogonal au vecteur directeur   rédiger l'aire avec le produit des côtés de l'angle droit.

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