Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2026, Polynésie : exercice 1

17 juin 2026 · jour 2 · 5 points

Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d'orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.

Les répartitions sont les suivantes :

40 % sont des filles   60 % sont des garçons
parmi les filles, 33,75 % envisagent des études d'ingénieur
parmi les garçons, 54,25 % envisagent des études d'ingénieur.

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :

$F$ : « L'élève est une fille »
$I$ : « L'élève envisage des études d'ingénieur ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire et $P(E)$ la probabilité de $E$ .

Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.
Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à $0,4605$ .
L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ?
Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

Partie B

Dans cette partie, on considère un entier naturel $n$ non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie $n$ filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à $0,15$ .

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale.
2. Exprimer en fonction de $n$ l'espérance de $X$ .
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à $0,99$ .
Dans cette question, on choisit un échantillon de $n = 29$ filles.

Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

Partie C

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 1 à 10.

On considère $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1500 lycéennes de l'académie n° 1, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.

On définit de la même façon les variables aléatoires $X_2, \dots, X_{10}$ pour les académies 2 à 10.

On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_{10}$ sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à $225$ et la même variance égale à $191,25$ .

On considère la variable aléatoire $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}$ .

Que représente la variable aléatoire $S$ pour les 15000 lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?
Calculer l'espérance et la variance de $S$ .
On considère l'ensemble des 15000 lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies.

Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2000 et 2500 est supérieure à $0,95$ ».

Voir le corrigé

Partie A

Question 1. On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

Répartition des élèves : $P(F)=0{,}4$ et $P(\overline{F})=0{,}6$ .

Parmi les filles : $P_F(I)=0{,}3375$ , donc $P_F(\overline{I})=1-0{,}3375=0{,}6625$ .

Parmi les garçons : $P_{\overline{F}}(I)=0{,}5425$ , donc $P_{\overline{F}}(\overline{I})=1-0{,}5425=0{,}4575$ .

L'arbre pondéré comporte donc deux branches issues de la racine, $F$ (pondérée par $0{,}4$ ) et $\overline{F}$ (pondérée par $0{,}6$ ). De $F$ partent les branches $I$ (pondérée par $0{,}3375$ ) et $\overline{I}$ (pondérée par $0{,}6625$ ). De $\overline{F}$ partent les branches $I$ (pondérée par $0{,}5425$ ) et $\overline{I}$ (pondérée par $0{,}4575$ ).

Question 2. On cherche $P(F\cap I)$ .

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle) :

P(F\cap I)=P(F)\times P_F(I)

P(F\cap I)=0{,}4\times 0{,}3375=0{,}135.

Donc la probabilité que l'élève choisi soit une fille envisageant des études d'ingénieur est $0{,}135$ .

Réponse : $P(F\cap I)=0{,}135$ .

Question 3. Les évènements $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles, de probabilités non nulles, et leur réunion est l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

P(I)=P(F\cap I)+P(\overline{F}\cap I).

On a $P(F\cap I)=0{,}135$ d'après la question 2, et

P(\overline{F}\cap I)=P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(I)=0{,}6\times 0{,}5425=0{,}3255.

Donc

P(I)=0{,}135+0{,}3255=0{,}4605.

Donc la probabilité que l'élève choisi envisage des études d'ingénieur est bien égale à $0{,}4605$ .

Question 4. On cherche la probabilité de $F$ sachant $I$ , c'est-à-dire $P_I(F)$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(I)\neq 0$ ) :

P_I(F)=\dfrac{P(F\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0{,}135}{0{,}4605}\approx 0{,}293.

Donc, sachant que l'élève envisage des études d'ingénieur, la probabilité qu'il s'agisse d'une fille est environ $0{,}293$ , arrondie au millième.

Réponse : $P_I(F)=\dfrac{0{,}135}{0{,}4605}\approx 0{,}293$ .

Partie B

Question 1. a) On interroge $n$ filles. Les tirages sont assimilés à des tirages indépendants avec remise : les $n$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : la fille interrogée souhaite devenir ingénieure (succès), avec la probabilité $p=0{,}15$ , ou non (échec).

On répète donc $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}15$ . La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}15)$ .

Question 1. b) L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est $np$ .

Donc

\mathrm{E}(X)=n\times 0{,}15=0{,}15\,n.

Réponse : $\mathrm{E}(X)=0{,}15\,n$ .

Question 2. L'évènement « au moins une fille souhaite devenir ingénieure » est $\{X\geqslant 1\}$ . Son évènement contraire est $\{X=0\}$ .

Donc

P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\binom{n}{0}\,0{,}15^{0}\,0{,}85^{n}=1-0{,}85^{n}.

On résout l'inéquation $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}99$ :

\begin{aligned} 1-0{,}85^{n}\geqslant 0{,}99&\Longleftrightarrow 0{,}85^{n}\leqslant 0{,}01\\ &\Longleftrightarrow \ln\!\left(0{,}85^{n}\right)\leqslant\ln(0{,}01)\qquad(\text{la fonction }\ln\text{ est strictement croissante sur }]0\,;+\infty[)\\ &\Longleftrightarrow n\ln(0{,}85)\leqslant\ln(0{,}01)\\ &\Longleftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}\qquad(\text{car }\ln(0{,}85)<0,\text{ on change le sens de l'inégalité}). \end{aligned}

On a $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}\approx 28{,}34$ .

Donc l'inéquation est vérifiée pour $n\geqslant 29$ , et le plus petit entier convenable est $29$ .

Vérification : $1-0{,}85^{28}\approx 0{,}9894<0{,}99$ et $1-0{,}85^{29}\approx 0{,}9910\geqslant 0{,}99$ .

Donc il faut interroger au minimum $29$ lycéennes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'elles souhaite devenir ingénieure soit supérieure ou égale à $0{,}99$ .

Réponse : $n=29$ .

Question 3. Ici $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(29\,;\,0{,}15)$ .

Le quart de $29$ est $\dfrac{29}{4}=7{,}25$ . Comme $X$ est à valeurs entières, « au moins le quart des filles interrogées » signifie $X\geqslant 7{,}25$ , c'est-à-dire $X\geqslant 8$ .

Donc

P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 7).

À la calculatrice, $P(X\leqslant 7)\approx 0{,}9414$ , donc

P(X\geqslant 8)\approx 0{,}059.

Donc la probabilité qu'au moins le quart des $29$ filles interrogées souhaite devenir ingénieure est environ $0{,}059$ , arrondie au millième.

Réponse : $P(X\geqslant 8)\approx 0{,}059$ .

Partie C

Question 1. Pour chaque entier $i$ de $1$ à $10$ , la variable $X_i$ est le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure dans l'échantillon de $1\,500$ lycéennes de l'académie $i$ .

La somme $S=X_1+\cdots+X_{10}$ est donc le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les $15\,000$ lycéennes interrogées dans l'ensemble des dix académies.

Question 2. Par linéarité de l'espérance :

\mathrm{E}(S)=\mathrm{E}(X_1)+\cdots+\mathrm{E}(X_{10})=10\times 225=2\,250.

Les variables $X_1,\dots,X_{10}$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

\mathrm{V}(S)=\mathrm{V}(X_1)+\cdots+\mathrm{V}(X_{10})=10\times 191{,}25=1\,912{,}5.

Donc $\mathrm{E}(S)=2\,250$ et $\mathrm{V}(S)=1\,912{,}5$ .

Réponse : $\mathrm{E}(S)=2\,250$ et $\mathrm{V}(S)=1\,912{,}5$ .

Question 3. L'affirmation est vraie.

L'évènement $2\,000<S<2\,500$ s'écrit $-250<S-2\,250<250$ , c'est-à-dire $|S-2\,250|<250$ . Son évènement contraire est $|S-2\,250|\geqslant 250$ .

La variable $S$ admet une espérance $\mathrm{E}(S)=2\,250$ et une variance $\mathrm{V}(S)=1\,912{,}5$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $\delta>0$ :

P\big(|S-\mathrm{E}(S)|\geqslant\delta\big)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(S)}{\delta^{2}}.

Avec $\delta=250$ :

P\big(|S-2\,250|\geqslant 250\big)\leqslant\dfrac{1\,912{,}5}{250^{2}}=\dfrac{1\,912{,}5}{62\,500}=0{,}0306.

Donc

P\big(2\,000<S<2\,500\big)=1-P\big(|S-2\,250|\geqslant 250\big)\geqslant 1-0{,}0306=0{,}9694.

Comme $0{,}9694>0{,}95$ , la probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2\,000$ et $2\,500$ est supérieure à $0{,}95$ .

Réponse : vraie.

Points clés attendus

Traduire les pourcentages en probabilités conditionnelles et citer les formules des probabilités composées, des probabilités totales (avec la partition $F$ , $\overline{F}$ ) et de la probabilité conditionnelle.
Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}15$ .
Résoudre l'inéquation $0{,}85^{n}\leqslant 0{,}01$ avec le logarithme, en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}85)<0$ .
Traduire « au moins le quart » de $29$ par $X\geqslant 8$ (et non $X\geqslant 7$ ).
Citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l'espérance et la variance de $S$ , et passer à l'évènement contraire pour conclure.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 2 · 5 points · Suites · Continuité et TVI
Exercice 3 · 5 points · Orthogonalité et distances dans l'espace
Exercice 4 · 5 points · Suites · Dérivation et convexité · Primitives et équations différentielles

Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Polynésie, 17 juin 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte