Bac 2026, Polynésie : exercice 2

Partie A

Question 1. Pour tout $x\in[4\,;10]$, on a $8x^{3}-1>0$. La fonction $f$ s'écrit $f=\ln\circ u$ avec $u(x)=8x^{3}-1$, fonction dérivable et strictement positive sur $[4\,;10]$, de dérivée $u'(x)=24x^{2}$.

D'après la formule de dérivation d'une composée $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ :

Il reste à factoriser le dénominateur. On a $8x^{3}-1=(2x)^{3}-1^{3}$, et on développe :

Donc, pour tout $x\in[4\,;10]$,

Question 2. a) On étudie le signe de chaque facteur sur $[4\,;10]$.

On a $24x^{2}>0$ pour $x\neq 0$, donc sur $[4\,;10]$.

On a $2x-1\geqslant 7>0$ pour $x\geqslant 4$.

On a $4x^{2}+2x+1>0$ car, pour $x\geqslant 4$, chacun des termes $4x^{2}$, $2x$ et $1$ est strictement positif.

Donc $f'(x)>0$ sur $[4\,;10]$, comme quotient de nombres strictement positifs.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[4\,;10]$.

Question 2. b) La fonction $f$ est croissante sur $[4\,;10]$ : pour tout $x\in[4\,;10]$,

On calcule :

Comme $6{,}24\geqslant 4$ et $8{,}99\leqslant 10$, on a $4\leqslant f(4)$ et $f(10)\leqslant 10$.

Donc, pour tout $x\in[4\,;10]$, $4\leqslant f(x)\leqslant 10$.

Question 3. a) La fonction $g$ est dérivable sur $[4\,;10]$ comme différence de deux fonctions dérivables, donc elle est continue sur $[4\,;10]$.

La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[4\,;10]$ (admis).

On calcule les valeurs aux bornes :

Donc $0$ est compris entre $g(10)$ et $g(4)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[4\,;10]$.

Question 3. b) À la calculatrice :

Donc $g(8{,}5)<0=g(\alpha)<g(8{,}499)$. Comme $g$ est strictement décroissante, on en déduit $8{,}499<\alpha<8{,}5$.

Donc un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près est $8{,}499<\alpha<8{,}5$ (on a $\alpha\approx 8{,}4991$).

Réponse : $8{,}499<\alpha<8{,}5$.

Partie B

Question 1.

Donc $u_1\approx 6{,}9$ à $10^{-1}$ près.

Réponse : $u_1=\ln(999)\approx 6{,}9$.

Question 2. a) Pour tout entier naturel $n$, on pose $P(n)$ : « $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$ ».

Initialisation. On a $u_0=5$ et $u_1\approx 6{,}9$, donc $4\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 10$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $4\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant 10$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$.

Les réels $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $[4\,;10]$, sur lequel la fonction $f$ est croissante (question A.2.a). En appliquant $f$ à chaque membre en conservant le sens des inégalités :

Or $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(u_{k+1})=u_{k+2}$, donc

D'après la question A.2.b), $4\leqslant f(4)$ et $f(10)\leqslant 10$. On en déduit

c'est-à-dire que $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Question 2. b) D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. De plus, $u_n\leqslant 10$ pour tout $n$ : elle est majorée par $10$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 3. Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, qui existe d'après la question précédente.

Pour tout $n$, $4\leqslant u_n\leqslant 10$. Par passage à la limite dans les inégalités larges, $4\leqslant\ell\leqslant 10$ : $\ell$ appartient à $[4\,;10]$.

La fonction $f$ est continue sur $[4\,;10]$ (car dérivable), et $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $(u_n)$ convergeant vers $\ell\in[4\,;10]$. On a donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell)$. Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$, c'est-à-dire

D'après la question A.3.a), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $[4\,;10]$, qui est $\alpha$.

Donc $\ell=\alpha$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

Partie C

Question 1. La fonction alpha(a) calcule les termes successifs de la suite $(u_n)$ à partir de $u_0=5$ : la variable n compte le nombre d'applications de $f$, et la boucle s'arrête dès que $u\geqslant a$.

L'appel alpha(8.499) renvoie $11$ : donc $u_{11}\geqslant 8{,}499$ et, comme la suite est croissante, $11$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 8{,}499$. Ainsi $u_{10}<8{,}499\leqslant u_{11}$.

Donc $11$ est le rang à partir duquel les termes de la suite $(u_n)$ dépassent $8{,}499$ (valeur approchée de $\alpha$ par défaut à $10^{-3}$ près).

Question 2. La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\alpha$. Donc, pour tout $n$, $u_n\leqslant\alpha$.

Or $\alpha\leqslant 8{,}5<8{,}6$. Donc, pour tout $n$, $u_n<8{,}6$.

Lors de l'appel alpha(8.6), la condition u < 8.6 du while est donc vérifiée à chaque tour : la boucle ne s'arrête jamais et la fonction ne renvoie aucune valeur.

Points clés attendus

• Dérivée de $\ln(u)$ sous la forme $\dfrac{u'}{u}$, puis factorisation de $8x^{3}-1$ vérifiée par développement.

• Pour le théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie, signes de $g$ aux bornes, conclusion d'existence et d'unicité.

• Récurrence rédigée complètement, en utilisant la croissance de $f$ sur $[4\,;10]$ et l'encadrement $4\leqslant f(x)\leqslant 10$.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis justifier que la limite vérifie $f(\ell)=\ell$ grâce à la continuité de $f$.

• Python : relier la boucle while au rang à partir duquel $u_n\geqslant a$, et justifier la boucle infinie par $u_n<\alpha<8{,}6$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.