Bac 2026, Polynésie : exercice 3

Partie A

Question 1. On a $u_0=2$, donc :

Donc $u_1=\ln 13\approx 2{,}565$.

Réponse : $u_1=\ln 13\approx 2{,}565$.

Question 2. D'après la représentation graphique, les points du nuage montent de $u_0=2$ vers des valeurs de plus en plus proches les unes des autres, puis semblent se stabiliser à partir de $n=10$ environ au-dessous de $4$.

On conjecture donc que la suite $(u_n)$ est croissante et qu'elle converge vers une limite proche de $3{,}8$.

Question 3. On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.

Initialisation. On a $u_0=2$ et $u_1=\ln 13\approx 2{,}565$.

Donc $2\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 4$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $2\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant 4$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ : $2\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 4$.

Les nombres $2$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $4$ appartiennent à $[0\,;+\infty[$, intervalle sur lequel la fonction $f$ est croissante.

On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(u_{k+1})=u_{k+2}$, avec $f(2)=\ln 13$ et $f(4)=\ln\left(3\times 16+1\right)=\ln 49$.

On obtient :

On compare maintenant $\ln 13$ à $2$ et $\ln 49$ à $4$.

On a $\mathrm{e}^2\approx 7{,}39<13$, donc, la fonction $\ln$ étant strictement croissante, $2<\ln 13$.

On a $\mathrm{e}^4\approx 54{,}6>49$, donc $\ln 49<4$.

Ainsi :

d'où $2\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 4$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.

Question 4. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

De plus, $u_n\leqslant 4$ pour tout $n$ : elle est majorée par $4$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Partie B

Question 1. La fonction $g:x\mapsto\ln\left(3x^2+1\right)-x$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$.

La dérivée de $x\mapsto\ln\left(u(x)\right)$ est $\dfrac{u'}{u}$, avec ici $u(x)=3x^2+1>0$ et $u'(x)=6x$.

Donc, pour tout $x\geqslant 0$ :

Question 2. Pour tout réel $x$, $3x^2+1>0$ : le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur $-3x^2+6x-1$.

Ce trinôme a pour discriminant $\Delta=6^2-4\times(-3)\times(-1)=36-12=24>0$.

Ses racines sont :

Le coefficient de $x^2$ est $-3<0$ : le trinôme est strictement négatif à l'extérieur des racines, c'est-à-dire pour $x<x_1$ ou $x>x_2$.

Comme $2>x_2\approx 1{,}82$, on a $g'(x)<0$ pour tout $x\in[2\,;4]$.

Donc la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;4]$.

Question 3. La fonction $g$ est :

• continue sur $[2\,;4]$ (elle est dérivable)

• strictement décroissante sur $[2\,;4]$, d'après la question 2

• telle que $g(2)=\ln 13-2\approx 0{,}565>0$ et $g(4)=\ln 49-4\approx-0{,}108<0$.

Le nombre $0$ est compris entre $g(4)$ et $g(2)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[2\,;4]$.

À la calculatrice : $g(3{,}78)\approx 0{,}0011>0$ et $g(3{,}79)\approx-0{,}0037<0$.

La fonction $g$ étant strictement décroissante, on en déduit $3{,}78<\alpha<3{,}79$.

Donc $\alpha\approx 3{,}78$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : $\alpha\approx 3{,}78$ (valeur approchée à $10^{-2}$ près).

Question 4. La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (partie A).

Comme $2\leqslant u_n\leqslant 4$ pour tout $n$, un passage à la limite dans ces inégalités larges donne $2\leqslant\ell\leqslant 4$.

La fonction $f:x\mapsto\ln\left(3x^2+1\right)$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (composée de fonctions continues) et $u_{n+1}=f(u_n)$.

Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $u_n$ et $u_{n+1}$ tendent vers $\ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$, on obtient :

Donc $g(\ell)=\ln\left(3\ell^2+1\right)-\ell=0$.

Le réel $\ell$ appartient à $[2\,;4]$ et vérifie $g(\ell)=0$   or $\alpha$ est l'unique solution de $g(x)=0$ dans $[2\,;4]$.

Donc $\ell=\alpha$, et $\ell\approx 3{,}78$ à $10^{-2}$ près.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée en trois temps : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie », conclusion   citer la croissance de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ et comparer $\ln 13$ à $2$ et $\ln 49$ à $4$.

• Citer le théorème de convergence monotone : suite croissante et majorée.

• Dérivée de $\ln(u)$ sous la forme $\dfrac{u'}{u}$, puis signe du trinôme justifié par le discriminant et les racines, et comparaison de $2$ à la plus grande racine.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie et signes de $g(2)$ et $g(4)$, puis unicité de $\alpha$ et encadrement donnant $3{,}78$.

• Limite d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ : continuité de $f$, équation $g(\ell)=0$ et unicité de la solution dans $[2\,;4]$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.