Bac 2026, Métropole : exercice 2

Question 1. On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(3x-1)=-\infty$.

De plus, $\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$. Par composition, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$.

Par produit des limites,

En ajoutant $2$,

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2. En $+\infty$, le produit $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}$ est de la forme indéterminée $\infty\times 0$.

On la lève en développant : pour tout réel $x$,

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}3x\,\mathrm{e}^{-x}=0$.

Par composition, $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$.

Par somme des limites,

Interprétation graphique : la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$   asymptote horizontale d'équation $y=2$.

Question 3. a) La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$. Alors $u'(x)=3$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=(4-3x)\,\mathrm{e}^{-x}$.

Question 3. b) Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$.

Donc $f'(x)$ est du signe de $4-3x$.

On a

Donc $f'(x)>0$ sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right[$, $f'\left(\dfrac43\right)=0$ et $f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac43\,;+\infty\right[$.

On calcule la valeur en $\dfrac43$ :

Tableau de variations, décrit en phrases :

• sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$, $f$ est strictement croissante, de limite $-\infty$ en $-\infty$ jusqu'à la valeur $2+3\,\mathrm{e}^{-4/3}$

• sur $\left[\dfrac43\,;+\infty\right[$, $f$ est strictement décroissante, de la valeur $2+3\,\mathrm{e}^{-4/3}$ vers la limite $2$ en $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum en $x=\dfrac43$, égal à $2+3\,\mathrm{e}^{-4/3}\approx 2{,}79$.

Question 4. a) On étudie l'équation $f(x)=0$ sur deux intervalles.

Sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur cet intervalle.

Elle admet pour limite $-\infty$ en $-\infty$ et sa valeur en $\dfrac43$ est $2+3\,\mathrm{e}^{-4/3}>0$.

Donc $f$ réalise une bijection de $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$ sur $\left]-\infty\,;2+3\,\mathrm{e}^{-4/3}\right]$.

Comme $0$ appartient à cet intervalle, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection, pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$.

Sur $\left[\dfrac43\,;+\infty\right[$. On a $3x-1\geqslant 3>0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}>0$ et $f(x)>2>0$.

L'équation $f(x)=0$ n'a donc aucune solution sur cet intervalle.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $\alpha$.

Question 4. b) À la calculatrice,

La fonction $f$ étant strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$, on en déduit $-0{,}21<\alpha<-0{,}20$.

Une valeur approchée plus précise est $\alpha\approx-0{,}2081$.

Donc $\alpha\approx-0{,}21$ à $10^{-2}$ près.

Réponse : $\alpha\approx-0{,}21$.

Question 4. c) Sur $\left]-\infty\,;\dfrac43\right]$, $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=0$.

Donc $f(x)<0$ pour $x<\alpha$ et $f(x)>0$ pour $\alpha<x\leqslant\dfrac43$.

Sur $\left[\dfrac43\,;+\infty\right[$, on a montré que $f(x)>2>0$.

Donc :

• $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;\alpha[$

• $f(\alpha)=0$

• $f(x)>0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Question 4. d) Sur l'intervalle $[0\,;2]$, on a $x\geqslant 0>\alpha$, donc $f(x)>0$.

La fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;2]$ : l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$ est

Comme $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$,

On calcule

Donc

Donc l'aire du domaine est $6-8\,\mathrm{e}^{-2}$ unités d'aire, soit environ $4{,}92$ unités d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=6-8\,\mathrm{e}^{-2}\approx 4{,}92$ unités d'aire.

Question 5. On pose, pour tout réel $x$, $g(x)=4x+1-f(x)$.

Il s'agit de montrer que $g(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$.

La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On a

On dérive $f'$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=4-3x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ :

Donc

Valeurs en $0$ : $f(0)=(-1)\times 1+2=1$ et $f'(0)=4$.

Donc $g(0)=1-1=0$ et $g'(0)=4-4=0$ (ce qui traduit le fait que la droite d'équation $y=4x+1$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $0$).

Étudions le signe de $g'$ en distinguant deux intervalles.

• Sur $\left]-\infty\,;\dfrac73\right]$ : $\mathrm{e}^{-x}>0$ et $7-3x\geqslant 0$, donc $g''(x)\geqslant 0$. La fonction $g'$ est croissante sur cet intervalle. Comme $g'(0)=0$, on obtient $g'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant 0$ et $g'(x)\geqslant 0$ pour $0\leqslant x\leqslant\dfrac73$.

• Sur $\left[\dfrac73\,;+\infty\right[$ : on a $3x-4>0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $g'(x)=4+(3x-4)\,\mathrm{e}^{-x}>4>0$.

Donc $g'(x)\leqslant 0$ sur $]-\infty\,;0]$ et $g'(x)\geqslant 0$ sur $[0\,;+\infty[$.

La fonction $g$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;0]$ puis croissante sur $[0\,;+\infty[$ : elle admet un minimum en $0$, égal à $g(0)=0$.

Donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $f(x)\leqslant 4x+1$.

Donc, pour tout réel $x$,

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ en citant les croissances comparées, et interpréter la limite par une asymptote horizontale.

• Détailler la dérivée avec $(uv)'=u'v+uv'$ et justifier le signe de $f'$ par $\mathrm{e}^{-x}>0$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection) en vérifiant continuité, stricte monotonie et signes aux bornes, puis traiter l'autre intervalle pour l'unicité sur $\mathbb{R}$.

• Justifier le signe de $f$ avant d'écrire l'aire comme intégrale, puis utiliser la primitive $F$ fournie.

• Pour l'inégalité finale, étudier le signe de $4x+1-f(x)$ à l'aide de ses dérivées successives (ou de la convexité), sans oublier l'intervalle $\left[\dfrac73\,;+\infty\right[$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.