Bac 2026, Métropole : exercice 3

Affirmation 1. Fausse.

La fonction $f$ définie par $f(x)=(x-2)\,\mathrm{e}^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

Avec $u(x)=x-2$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$, la formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne

Donc

Or l'équation $(E)$ demande $f'(x)-2f(x)=(x-3)\,\mathrm{e}^x$.

Contre-exemple : pour $x=0$, on obtient $f'(0)-2f(0)=3$ alors que $(0-3)\,\mathrm{e}^0=-3$.

Comme $3\neq-3$, la fonction $f$ n'est pas solution de $(E)$ : l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. Fausse.

On intègre par parties. On pose $u(x)=2x+1$ et $v'(x)=\cos x$, d'où $u'(x)=2$ et $v(x)=\sin x$.

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;\pi]$, ce qui permet d'appliquer la formule d'intégration par parties :

On calcule le crochet : $(2\pi+1)\sin\pi-1\times\sin 0=0-0=0$.

On calcule l'intégrale restante :

Donc

Comme $-4\neq-4\pi$, l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

Définition. Pour $x\in\,]7\,;+\infty[$, on a $2x^2-6x-56=2(x-7)(x+4)$.

Sur cet intervalle, $x-7>0$ et $x+4>0$, donc $2x^2-6x-56>0$. De plus $4x-8>0$ car $x>7>2$.

Les deux logarithmes sont donc bien définis sur $]7\,;+\infty[$.

Résolution. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc, pour $x>7$,

On transforme :

Le trinôme $2(x-8)(x+3)$ a un coefficient dominant strictement positif et pour racines $-3$ et $8$ : il est positif ou nul pour $x\leqslant-3$ ou $x\geqslant 8$.

Sur l'intervalle $]7\,;+\infty[$, la condition $x\leqslant-3$ est impossible. Il reste $x\geqslant 8$.

Donc l'ensemble des solutions est $[8\,;+\infty[$ : l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$ (admis), donc $v_n=\dfrac{2}{u_n}$ est bien défini.

On a

On sépare les termes :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n+\dfrac{10}{3}$ : la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac{10}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{u_0}=2$.

L'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5. Vraie.

Soit $N$ le nombre d'apparitions du $6$ au cours des $3600$ lancers.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (le $6$ apparaît ou non), de probabilité de succès $\dfrac16$ puisque le dé est équilibré. Les lancers sont identiques et indépendants.

Donc $N$ suit la loi binomiale de paramètres $3600$ et $\dfrac16$.

On en déduit

On a l'équivalence

L'événement contraire est donc $\{|N-600|\geqslant 150\}$.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée avec $\delta=150>0$,

soit

Donc

Comme $0{,}978>0{,}97$, la probabilité cherchée est bien minorée par $0{,}97$ : l'affirmation 5 est vraie.

Points clés attendus

• Pour une affirmation fausse, fournir un contre-exemple ou un calcul qui la contredit (valeur de $x$, valeur exacte de l'intégrale).

• Pour l'équation différentielle, calculer $f'-2f$ et le comparer au second membre $(x-3)\,\mathrm{e}^x$.

• Pour l'inéquation, vérifier d'abord le domaine de définition, puis utiliser la stricte croissance de $\ln$ et intersecter avec $]7\,;+\infty[$.

• Pour la suite, partir de $v_{n+1}$, exprimer en fonction de $u_n$ puis de $v_n$ pour obtenir une différence constante.

• Pour la dernière affirmation, justifier la loi binomiale, calculer $E(N)$ et $V(N)$, citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et passer à l'événement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.