Bac 2026, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1. a) Chaque lancer franc est une épreuve de Bernoulli : il n'a que deux issues, la réussite, de probabilité $p=0{,}6$, et l'échec, de probabilité $0{,}4$.

Les cinq lancers sont identiques (même probabilité de réussite) et, d'après la modélisation de l'énoncé, indépendants.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de réussites au cours de ces $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}6$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}6)$.

Question 1. b) L'événement $\{X\geqslant 4\}$ est la réunion des deux événements incompatibles $\{X=4\}$ et $\{X=5\}$.

Donc

D'après la formule de la loi binomiale, $P(X=k)=\binom{5}{k}\,0{,}6^k\,0{,}4^{5-k}$.

On calcule

Donc

Arrondie à $10^{-2}$ près, cette probabilité vaut $0{,}34$.

Interprétation : la probabilité que la joueuse réussisse au moins quatre lancers sur les cinq est d'environ $0{,}34$, soit environ $34\,\%$.

Réponse : $P(X\geqslant 4)=0{,}33696\approx 0{,}34$.

Question 2. a) Le nombre de réussites $Y$ est un entier compris entre $0$ et $n$.

L'événement contraire de $\{Y\geqslant 1\}$ est donc $\{Y=0\}$.

Donc

$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}6$, donc

Donc

Question 2. b) On cherche les entiers $n\geqslant 1$ tels que $P(Y\geqslant 1)>0{,}9999$.

On a

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc elle conserve le sens de l'inégalité :

Or $\ln(0{,}4)<0$ puisque $0{,}4<1$. En divisant par $\ln(0{,}4)$, le sens de l'inégalité change :

À la calculatrice,

Comme $n$ est un entier, la condition équivaut à $n\geqslant 11$.

Vérification directe : $0{,}4^{10}\approx 1{,}05\times 10^{-4}$, qui n'est pas inférieur à $10^{-4}$, et $0{,}4^{11}\approx 4{,}19\times 10^{-5}$, qui est inférieur à $10^{-4}$.

Donc c'est à partir de $11$ lancers que la probabilité de réussir au moins un lancer dépasse $0{,}9999$.

Réponse : $n=11$.

Question 2. c) Dans la fonction, la variable n est le nombre de lancers et la variable p doit contenir $P(Y\geqslant 1)=1-0{,}4^n$.

Pour $n=1$, on a bien $p=1-0{,}4=0{,}6$, valeur d'initialisation du script.

Tant que cette probabilité ne dépasse pas $0{,}9999$, on augmente $n$ de $1$ et on recalcule p.

À la sortie de la boucle, n est le plus petit entier pour lequel $p>0{,}9999$.

def basket():
    p = 0.6
    n = 1
    while p <= 0.9999:
        n = n + 1
        p = 1 - 0.4**n
    return n

Justification de la valeur renvoyée : pour $n=10$, $p=1-0{,}4^{10}\approx 0{,}999895$, qui est inférieur ou égal à $0{,}9999$ : la boucle continue.

Pour $n=11$, $p=1-0{,}4^{11}\approx 0{,}999958$, qui est strictement supérieur à $0{,}9999$ : la boucle s'arrête.

Donc la fonction basket renvoie $11$, ce qui est bien le résultat de la question 2. b).

Réponse : la condition est p <= 0.9999, la mise à jour est p = 1 - 0.4**n, la fonction renvoie n, c'est-à-dire $11$.

Partie B

Question 1. Les événements $G_1$ et $\overline{G_1}$ forment une partition de l'univers (le joueur réussit ou rate son premier lancer, et ces deux événements sont incompatibles).

Les données de l'énoncé se traduisent par

D'après la formule des probabilités totales,

Donc

Donc la probabilité que le joueur réussisse son deuxième lancer franc est $0{,}55$.

Réponse : $P(G_2)=0{,}55$.

Question 2. a) Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété $p_n\leqslant p_{n+1}$.

Initialisation. On a $p_1=P(G_1)=0{,}5$ et $p_2=P(G_2)=0{,}55$ d'après la question précédente.

Donc $p_1\leqslant p_2$ : $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k\leqslant p_{k+1}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $p_{k+1}\leqslant p_{k+2}$.

On multiplie chaque membre de l'hypothèse de récurrence par $0{,}3$, qui est strictement positif, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $0{,}4$ à chaque membre :

D'après la relation de récurrence admise, $p_{k+1}=0{,}3\,p_k+0{,}4$ et $p_{k+2}=0{,}3\,p_{k+1}+0{,}4$.

Donc $p_{k+1}\leqslant p_{k+2}$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $p_n\leqslant p_{n+1}$.

Donc la suite $(p_n)$ est croissante.

Question 2. b) Pour tout $n\geqslant 1$, $p_n$ est la probabilité de l'événement $G_n$.

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$, donc $p_n\leqslant 1$ pour tout $n\geqslant 1$.

Donc la suite $(p_n)$ est majorée par $1$.

Question 2. c) La suite $(p_n)$ est croissante d'après la question 2. a) et majorée par $1$ d'après la question 2. b).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(p_n)$ est convergente.

Question 3. Le nombre $p_n$ est la probabilité que le joueur réussisse son $n$-ième lancer franc.

La limite $\dfrac47\approx 0{,}57$ signifie que, lorsque le nombre de lancers devient très grand, la probabilité que le joueur réussisse un lancer se rapproche de $\dfrac47$.

Donc, à long terme, ce joueur réussit environ $57\,\%$ de ses lancers francs, quelle que soit la probabilité de réussite du premier lancer.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, puis donner $n$ et $p$.

• Passer par l'événement contraire pour $P(Y\geqslant 1)$, et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}4)<0$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{G_1,\overline{G_1}\}$.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec l'hypothèse de récurrence, conclusion).

• Citer le théorème de la limite monotone en vérifiant les deux hypothèses : suite croissante et majorée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.