Bac 2026, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1. L'équation $(E)$ s'écrit $y'=-0{,}035\,y+0{,}91$. Elle est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}035\neq 0$ et $b=0{,}91$.

Les solutions de l'équation $y'=ay+b$ sont les fonctions $t\mapsto k\,\mathrm{e}^{at}-\dfrac{b}{a}$, avec $k\in\mathbb{R}$.

On calcule

Donc les solutions de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$ sont les fonctions

Question 2. La fonction $T$ est solution de $(E)$, donc il existe un réel $k$ tel que, pour tout $t\geqslant 0$,

On utilise la condition initiale $T(0)=18$ :

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$,

Question 3. On cherche l'instant $t$ tel que $T(t)=20$.

La fonction $T$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ avec

car une exponentielle est strictement positive. Donc $T$ est strictement croissante et la température $20\,\text{°C}$ est atteinte une seule fois.

On résout l'équation :

On obtient $t\approx 8{,}22$ dizaines de minutes, soit $t\approx 82{,}19$ minutes, soit $82$ minutes arrondi à la minute.

Or $82=60+22$ : la durée est de $1$ heure et $22$ minutes.

Donc, selon ce modèle, la pièce atteint la température de $20\,\text{°C}$ au bout de $1$ h $22$ min environ.

Réponse : $t=\dfrac{\ln(4/3)}{0{,}035}\approx 8{,}22$ dizaines de minutes, soit environ $1$ h $22$ min.

Question 4. Pour tout $t\geqslant 0$, on a $8\,\mathrm{e}^{-0{,}035t}>0$, donc

Ainsi la température reste strictement inférieure à $26\,\text{°C}$ pour tout $t$.

On retrouve ce résultat avec la limite : comme $-0{,}035<0$, on a $\lim\limits_{t\to+\infty}-0{,}035\,t=-\infty$, et par limite d'une composée $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}035t}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)=26$.

Comme $26<28$, on a $T(t)<28$ pour tout $t\geqslant 0$.

Donc, selon ce modèle, la température de la pièce ne pourra pas dépasser $28\,\text{°C}$ (elle se rapproche de $26\,\text{°C}$ sans l'atteindre).

Partie B

Question 1. On applique la relation de récurrence avec $n=0$ et $u_0=20$ :

On calcule :

Donc $u_1=19{,}72$.

Question 2. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n>10$.

Initialisation. On a $u_0=20>10$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k>10$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}>10$.

On multiplie l'inégalité $u_k>10$ par $0{,}965>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $0{,}35$ :

Or $0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1k}>0$, car une exponentielle est strictement positive. Donc

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n>10$.

Question 3. On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante. D'après la question 2, elle est minorée par $10$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4. a) Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$.

La suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang, donc elle converge aussi vers $\ell$.

De plus $\lim\limits_{n\to+\infty}-0{,}1\,n=-\infty$, donc par limite d'une composée $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}1n}=0$, et donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}=0$.

Par opérations sur les limites, le membre de droite de $u_{n+1}=0{,}965\,u_n+0{,}35+0{,}07\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}$ tend vers $0{,}965\,\ell+0{,}35$, et le membre de gauche tend vers $\ell$. Par unicité de la limite,

Donc $\ell$ est solution de l'équation $x=0{,}965\,x+0{,}35$.

Question 4. b) On résout l'équation :

Donc $\ell=10$.

Interprétation : si le chauffage reste éteint, la température de la pièce se rapproche de $10\,\text{°C}$ au fil du temps.

Réponse : $\ell=10$.

Question 5. a) Tant que la température $u$ est strictement supérieure à $18$, le chauffage reste éteint : on calcule le terme suivant et on augmente $n$ de $1$.

Pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, on utilise la valeur de $n$ avant l'incrémentation, d'où l'ordre des lignes 5 et 6. Le programme complété est :

def marche() :
    n = 0
    u = 20
    while u > 18 :
        u = 0.965*u + 0.35 + 0.07*exp(-0.1*n)
        n = n + 1
    return n

(La fonction exp suppose que le module math a été importé.)

Question 5. b) La suite $(u_n)$ est décroissante : le chauffage se remet en marche à partir du plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant 18$.

On calcule les termes successifs à la calculatrice :

Donc $n=8$ est le plus petit entier tel que $u_n\leqslant 18$ : c'est la valeur renvoyée par la fonction marche().

Donc le système de chauffage se remet en marche au bout de $8$ dizaines de minutes, soit $80$ minutes.

Réponse : $n=8$.

Points clés attendus

• Résoudre l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec la solution constante $-\dfrac ba$, puis déterminer la constante avec la condition initiale.

• Résoudre $T(t)=20$ avec le logarithme, et convertir les dizaines de minutes en heures et minutes en précisant l'arrondi.

• Pour la récurrence : initialisation, hérédité avec l'hypothèse de récurrence, utilisation de la positivité de l'exponentielle, conclusion.

• Citer le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée), puis passer à la limite dans la relation de récurrence pour trouver $\ell$.

• Dans le programme Python, utiliser la condition d'arrêt u > 18, et respecter l'ordre des instructions car le terme dépend de $n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.