Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 2

Partie A

Question 1.

L'équation $(E)$ s'écrit $y'=-0{,}3y+1$, c'est-à-dire $y'=ay+b$ avec $a=-\dfrac{3}{10}$ et $b=1$.

La fonction constante $y=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{0{,}3}=\dfrac{10}{3}$ est une solution particulière de $(E)$ : en effet, sa dérivée est nulle et $-\dfrac{3}{10}\times\dfrac{10}{3}+1=0$.

Les solutions de l'équation homogène $y'=-\dfrac{3}{10}y$ sont les fonctions $t\mapsto C\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Les solutions de $(E)$ sont la somme d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène.

Donc les solutions de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$ sont les fonctions

Question 2.

La fonction $q$ est solution de $(E)$ : il existe donc un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant0$,

On a $q(0)=1$ et $q(0)=\dfrac{10}{3}+C\mathrm{e}^{0}=\dfrac{10}{3}+C$, donc

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$ :

Question 3.

On a $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(-\dfrac{3}{10}t\right)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}=0$.

Donc

Interprétation : d'après ce modèle, la quantité de médicament présente dans le sang du patient se rapproche de $\dfrac{10}{3}$ mg lorsque le temps écoulé devient grand.

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}q(t)=\dfrac{10}{3}$.

Question 4.

La fonction $q$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$. D'après la formule de dérivation de $t\mapsto\mathrm{e}^{kt}$, de dérivée $k\mathrm{e}^{kt}$, avec $k=-\dfrac{3}{10}$, on a pour tout $t\geqslant0$ :

Pour tout réel $t$, $\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}>0$, donc $q'(t)>0$.

Donc la fonction $q$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, de $q(0)=1$ vers sa limite $\dfrac{10}{3}$.

Question 5.

Le médicament présente un risque de toxicité lorsque $q(t)\geqslant3$. On résout cette inéquation, pour $t\geqslant0$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc on peut l'appliquer aux deux membres en conservant le sens de l'inégalité :

où l'on a divisé par $-\dfrac{3}{10}<0$, ce qui change le sens de l'inégalité.

Donc le médicament présente un risque pour le patient à partir de $\dfrac{10}{3}\ln7$ heures après l'injection initiale, soit environ $6{,}5$ heures (au dixième près, car $\dfrac{10}{3}\ln7\approx6{,}486$).

Réponse : $t=\dfrac{10}{3}\ln7\approx6{,}5$ heures.

Question 6.

Le traitement doit durer au moins $7$ heures.

Or $\dfrac{10}{3}\ln7\approx6{,}49<7$ : le seuil de $3$ mg est atteint avant la fin de la durée minimale du traitement. Par exemple, $q(7)\approx3{,}05\geqslant3$.

Donc, d'après ce modèle, le premier protocole présente un risque pour le patient.

Partie B

Question 1.

Pendant une heure, la quantité de médicament présente dans le sang baisse de $30\,\%$ : elle est multipliée par $1-\dfrac{30}{100}=0{,}7$.

On injecte ensuite une dose supplémentaire de $0{,}75$ mg.

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant4$.

Initialisation. On a $u_{0}=1$ et $u_{1}=0{,}7\times1+0{,}75=1{,}45$.

Donc $u_{0}\leqslant u_{1}\leqslant4$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_{k}\leqslant u_{k+1}\leqslant4$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

La fonction $h:x\mapsto0{,}7x+0{,}75$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (fonction affine de coefficient directeur $0{,}7>0$). On l'applique aux trois membres de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $0{,}7u_{k}+0{,}75=u_{k+1}$, $0{,}7u_{k+1}+0{,}75=u_{k+2}$ et $0{,}7\times4+0{,}75=3{,}55\leqslant4$.

On obtient donc

soit $u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant4$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant4$.

Question 2. b)

D'après la question précédente, la suite $(u_{n})$ est croissante (car $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$) et majorée par $4$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_{n})$ est convergente.

Question 2. c)

Notons $\ell$ la limite de $(u_{n})$, qui existe d'après la question précédente.

Les suites $(u_{n})$ et $(u_{n+1})$ convergent toutes deux vers $\ell$. Par passage à la limite dans la relation $u_{n+1}=0{,}7u_{n}+0{,}75$ (fonction affine, donc continue), on obtient

Donc $0{,}3\ell=0{,}75$, soit

Réponse : $\ell=2{,}5$.

Question 2. d)

La suite $(u_{n})$ est croissante et converge vers $2{,}5$ : elle est donc majorée par sa limite, et $u_{n}\leqslant2{,}5$ pour tout entier naturel $n$.

Comme $2{,}5<3$, la quantité de médicament reste strictement inférieure à $3$ mg à tout instant.

Donc, d'après ce modèle, le traitement ne présente pas de risque pour le patient.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$ :

On a vérifié que $0{,}7\times2{,}5=1{,}75$.

Donc la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q=0{,}7$ et de premier terme $v_{0}=u_{0}-2{,}5=1-2{,}5=-1{,}5$.

Question 3. b)

Comme $(v_{n})$ est géométrique de raison $0{,}7$ et de premier terme $-1{,}5$, on a, pour tout entier naturel $n$ :

Or $u_{n}=v_{n}+2{,}5$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Question 4.

On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}>2{,}4$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ :

Comme $0{,}7<1$, on a $\ln0{,}7<0$ : en divisant par $\ln0{,}7$, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier naturel vérifiant cette inégalité est $n=8$.

Vérification avec la formule : $u_{7}\approx2{,}376\leqslant2{,}4$ et $u_{8}\approx2{,}414>2{,}4$.

Donc la quantité de médicament présente dans le sang dépasse $2{,}4$ mg au bout de $8$ injections supplémentaires.

Réponse : $n=8$.

Points clés attendus

• Résoudre $y'=ay+b$ : solution constante $-\dfrac{b}{a}$ plus solutions de l'équation homogène, puis déterminer la constante avec $q(0)=1$.

• Résoudre l'inéquation $q(t)\geqslant3$ en isolant l'exponentielle, puis en appliquant $\ln$ (strictement croissante)   conclure en comparant à la durée minimale de $7$ h.

• Traduire « baisse de $30\,\%$ » par le coefficient multiplicateur $0{,}7$ pour obtenir la relation de récurrence.

• Rédiger la récurrence complète en utilisant la croissance de $x\mapsto0{,}7x+0{,}75$, puis citer le théorème de la limite monotone et déterminer $\ell$ par passage à la limite.

• Montrer que $(v_{n})$ est géométrique en factorisant $0{,}7(u_{n}-2{,}5)$, et penser au changement de sens de l'inégalité en divisant par $\ln0{,}7<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.