Bac 2026, Centres étrangers : exercice 4

Partie A

Question 1. a)

Limite en $0$. On a $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^{+}}x^{2}=0^{+}$, donc $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty$.

Par produit, $f(x)=\ln(x)\times\dfrac{1}{x^{2}}$ a pour limite $-\infty\times(+\infty)=-\infty$ :

Limite en $+\infty$. Pour tout $x>0$, on écrit

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$. De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$. Par produit :

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question 1. b)

Comme $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).

Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote horizontale, au voisinage de $+\infty$, la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses).

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (admis). On écrit $f=\dfrac{u}{v}$ avec, pour $x>0$ :

La fonction $v$ ne s'annule pas sur $]0;+\infty[$. On applique la formule de dérivation d'un quotient, $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ :

On factorise le numérateur par $x$ et on simplifie par $x\neq 0$ :

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}$.

Question 3.

Pour tout $x>0$, $x^{3}>0$. Donc $f'(x)$ est du signe de $1-2\ln(x)$.

On résout, la fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0;+\infty[$ :

Donc $f'(x)>0$ sur $\left]0;\sqrt{\mathrm{e}}\right[$, $f'(\sqrt{\mathrm{e}})=0$ et $f'(x)<0$ sur $\left]\sqrt{\mathrm{e}};+\infty\right[$.

Variations de $f$ :

• $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\sqrt{\mathrm{e}}\right]$, de limite $-\infty$ en $0^{+}$ jusqu'à la valeur $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$

• $f$ est strictement décroissante sur $\left[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty\right[$, de la valeur $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$ jusqu'à la limite $0$ en $+\infty$.

La fonction $f$ admet donc un maximum en $\sqrt{\mathrm{e}}$, de valeur

Elle n'a pas de minimum (la limite en $0^{+}$ est $-\infty$).

Réponse : maximum $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$   limites $-\infty$ en $0^{+}$ et $0$ en $+\infty$.

Question 4.

L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

On calcule :

Donc

Réponse : $\Delta:\ y=x-1$.

Question 5.

On écrit $f'=\dfrac{u}{v}$ avec, pour $x>0$ :

Par la formule de dérivation d'un quotient :

On développe le numérateur :

Donc

La formule demandée est bien vérifiée pour tout $x>0$.

Question 6. a)

Pour tout $x>0$, $x^{4}>0$. Donc $f''(x)$ est du signe de $6\ln(x)-5$.

On résout :

Donc $f''(x)<0$ sur $\left]0;\mathrm{e}^{5/6}\right[$, $f''\left(\mathrm{e}^{5/6}\right)=0$ et $f''(x)>0$ sur $\left]\mathrm{e}^{5/6};+\infty\right[$.

Conséquence :

• $f$ est concave sur $\left]0;\mathrm{e}^{5/6}\right]$

• $f$ est convexe sur $\left[\mathrm{e}^{5/6};+\infty\right[$.

La dérivée seconde s'annule en $\mathrm{e}^{5/6}$ en changeant de signe : $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\mathrm{e}^{5/6}$. Son ordonnée est

Réponse : point d'inflexion $\left(\mathrm{e}^{5/6}\,;\,\dfrac{5}{6}\mathrm{e}^{-5/3}\right)$.

Question 6. b)

D'après la question 6. a), la fonction $f$ est concave sur $\left]0;\mathrm{e}^{5/6}\right]$. Une fonction concave sur un intervalle a sa courbe située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle.

Or le point A d'abscisse $1$ appartient à cet intervalle, car $1<\mathrm{e}^{5/6}$. Donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de sa tangente $\Delta$ sur $\left]0;\mathrm{e}^{5/6}\right]$.

Ainsi, pour tout $x\in\left]0;\mathrm{e}^{5/6}\right]$ :

Question 7.

Soit $x\in\left[\mathrm{e}^{5/6};+\infty\right[$.

On a $\mathrm{e}^{5/6}\approx 2{,}30>2$, donc $x\geqslant\mathrm{e}^{5/6}>2$ et $x-1>1$.

D'après la question 3, $f$ admet pour maximum $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$ sur $]0;+\infty[$. Comme $\mathrm{e}>1$, on a $2\mathrm{e}>1$, donc $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}<1$, et ainsi $f(x)\leqslant\dfrac{1}{2\mathrm{e}}<1$.

On en déduit $f(x)<1<x-1$.

Donc, pour tout $x\in\left[\mathrm{e}^{5/6};+\infty\right[$, $x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$. Avec la question 6. b), l'inégalité $x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$ est vraie pour tout $x>0$.

Partie B

Question 1.

Pour tout $x\geqslant 1$, $\ln(x)\geqslant 0$ et $x^{2}>0$, donc $f(x)\geqslant 0$ sur $[1;+\infty[$. De plus $f$ est continue sur $[1;n]$.

Donc, pour $n\geqslant 1$, $I_n=\displaystyle\int_1^n f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=n$.

Question 2.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, d'après la relation de Chasles :

Sur l'intervalle $[n;n+1]\subset[1;+\infty[$, on a $f(x)\geqslant 0$, et les bornes sont dans l'ordre croissant ($n<n+1$). Par positivité de l'intégrale :

Donc $I_{n+1}-I_n\geqslant 0$ pour tout $n\geqslant 1$ : la suite $(I_n)$ est croissante.

Question 3.

Sur le graphique, les rectangles ont pour largeur $1$.

Le premier rectangle, sur $[1;2]$, a pour hauteur le maximum de $f$ (repéré par la croix), soit $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\approx 0{,}184$. Son aire est $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\times 1=\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$ : c'est la valeur initiale de $S$.

Les rectangles suivants, sur $[i;i+1]$ pour $i$ entier de $2$ à $9$, ont pour hauteur $f(i)=\dfrac{\ln(i)}{i^{2}}$ et pour largeur $1$. À chaque tour de boucle, il faut donc ajouter à $S$ l'aire $\dfrac{\ln(i)}{i^{2}}$.

Script complété :

from math import *

S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S = S + log(i)/i**2
print(S)

La boucle for i in range (2,10) fait varier $i$ de $2$ à $9$ : on a bien les huit rectangles suivants. Le script affiche une valeur approchée $S\approx 0{,}779$ de $\displaystyle\int_1^{10}f(x)\,\mathrm{d}x$.

Réponse : la ligne à compléter est S = S + log(i)/i**2.

Question 4.

Soit $n\geqslant 1$. On pose, pour $x\in[1;n]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[1;n]$. La formule d'intégration par parties donne :

On calcule chaque terme :

Donc

Question 5.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on écrit

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$. Par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0$.

Par somme :

Donc la suite $(I_n)$ converge vers $1$ : l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et la droite $x=1$ à gauche tend vers $1$ unité d'aire quand $n$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=1$.

Points clés attendus

• Lever les formes indéterminées proprement (croissances comparées pour $\dfrac{\ln(x)}{x}$) et traduire les limites en asymptotes.

• Détailler les dérivées par la formule du quotient, étudier le signe avec $x^{3}>0$ puis $x^{4}>0$, et donner les valeurs exactes des extrema et du point d'inflexion.

• Utiliser la concavité : une courbe de fonction concave est sous ses tangentes.

• Pour la question 7, comparer $f$ (majorée par son maximum, inférieur à $1$) et $x-1$ (supérieur à $1$).

• Justifier la croissance de $(I_n)$ par la positivité de $f$ et de l'intégrale (bornes dans l'ordre).

• Intégration par parties : poser $u$ et $v'$, vérifier le caractère $\mathcal{C}^{1}$, puis calculer chaque terme explicitement.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.