Bac 2026, Centres étrangers : exercice 2

Affirmation 1 : vraie.

La fonction $f$ définie par $f(x)=4\mathrm{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On calcule sa dérivée :

On forme alors $f'(x)+f(x)$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)+f(x)=2\cos(x)$ : la fonction $f$ est solution de $(E)$. L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : vraie.

Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire $2x=\sin(x)$, ou encore $h(x)=0$ avec

La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

Pour tout réel $x$, $\cos(x)\leqslant 1$, donc $h'(x)\geqslant 2-1=1>0$.

Donc $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Une fonction strictement croissante est injective : l'équation $h(x)=0$ a au plus une solution.

Or $h(0)=0-\sin(0)=0$ : $0$ est solution. C'est donc l'unique solution.

Donc les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un seul point d'intersection, le point $(0\,;0)$. L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : fausse.

Pour tout entier naturel $n$, on a $-1\leqslant\sin(n)\leqslant 1$. En ajoutant $2n$ puis en divisant par $n+1>0$ :

On étudie les limites des deux suites encadrantes. En factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur :

Les deux suites encadrantes convergent vers $2$ et l'encadrement est valable pour tout $n$. D'après le théorème des gendarmes, la suite $(v_n)$ converge, et

Donc la suite $(v_n)$ converge : elle ne diverge pas. L'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 : vraie.

On démontre par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété $P(n)$ : « $u_n=n^{2}$ » est vraie.

Initialisation. On a $u_1=1=1^{2}$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=k^{2}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

Par définition de la suite et d'après l'hypothèse de récurrence :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $u_n=n^{2}$ pour tout entier $n\geqslant 1$. L'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5 : vraie.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\mathrm{e}^{-n}=\left(\mathrm{e}^{-1}\right)^{n}$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de raison $q=\mathrm{e}^{-1}$ et de premier terme $u_0=\mathrm{e}^{0}=1$.

La somme $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ comporte $n+1$ termes. Comme $q\neq 1$, la formule de la somme des termes d'une suite géométrique donne :

On a $0<\mathrm{e}^{-1}<1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\mathrm{e}^{-1}\right)^{n+1}=0$, c'est-à-dire $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-(n+1)}=0$.

Donc

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\mathrm{e}$ :

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$. L'affirmation 5 est vraie.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : calculer $f'$ et vérifier l'égalité $f'+f=2\cos$ pour tout réel, sans se contenter de tester une valeur.

• Affirmation 2 : étudier $h(x)=2x-\sin(x)$, justifier la stricte croissance par le signe de $h'$ et exhiber la solution $0$.

• Affirmation 3 : encadrer $\sin(n)$, calculer les limites des deux suites encadrantes et citer le théorème des gendarmes.

• Affirmation 4 : rédiger complètement la récurrence (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion).

• Affirmation 5 : reconnaître une suite géométrique, bien compter $n+1$ termes et utiliser $0<q<1$ pour la limite.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.