Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

• $P(A)=0{,}20$ et $P(R)=0{,}05$

• $A$, $R$ et $N$ correspondent aux trois états possibles d'un réacteur : $P(N)=1-P(A)-P(R)=1-0{,}20-0{,}05=0{,}75$

• parmi les réacteurs en arrêt, $85\,\%$ sont contrôlés : $P_A(C)=0{,}85$, donc $P_A(\overline{C})=1-0{,}85=0{,}15$

• parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, $60\,\%$ sont contrôlés : $P_R(C)=0{,}60$, donc $P_R(\overline{C})=1-0{,}60=0{,}40$

• $P_N(C)=x$, donc $P_N(\overline{C})=1-x$.

L'arbre se complète ainsi :

• branches issues de la racine : $A$ de poids $0{,}20$, $R$ de poids $0{,}05$, $N$ de poids $0{,}75$

• branches issues de $A$ : $C$ de poids $0{,}85$, $\overline{C}$ de poids $0{,}15$

• branches issues de $R$ : $C$ de poids $0{,}60$, $\overline{C}$ de poids $0{,}40$

• branches issues de $N$ : $C$ de poids $x$, $\overline{C}$ de poids $1-x$.

Question 2.

On cherche la probabilité de l'évènement $A\cap C$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles, $P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)$, donc

Donc la probabilité que le réacteur soit en arrêt et subisse un contrôle est $0{,}17$.

Réponse : $P(A\cap C)=0{,}17$.

Question 3.

Les évènements $A$, $R$ et $N$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

On calcule chaque terme :

• $P(A\cap C)=0{,}17$ (question 2)

• $P(R\cap C)=P(R)\times P_R(C)=0{,}05\times0{,}60=0{,}03$

• $P(N\cap C)=P(N)\times P_N(C)=0{,}75x$.

Donc

Or $P(C)=0{,}35$, donc $0{,}20+0{,}75x=0{,}35$, c'est-à-dire

Donc la probabilité $x=P_N(C)$ est égale à $0{,}2$.

Question 4.

On cherche la probabilité que le réacteur fonctionne normalement sachant qu'il est contrôlé, c'est-à-dire $P_C(N)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, avec $P(C)=0{,}35\neq0$ :

Donc, sachant que le réacteur choisi subit un contrôle, la probabilité qu'il fonctionne normalement est $\dfrac{3}{7}$, soit environ $0{,}429$ au millième près.

Réponse : $P_C(N)=\dfrac{3}{7}\approx0{,}429$.

Partie B

Question 1. a)

La production journalière d'un réacteur vaut $0$ GWh à l'arrêt, $10$ GWh au ralenti et $16$ GWh en fonctionnement normal. Donc $X$ prend les valeurs $0$, $10$ et $16$.

On a :

• $P(X=0)=P(A)=0{,}20$

• $P(X=10)=P(R)=0{,}05$

• $P(X=16)=P(N)=0{,}75$.

La loi de probabilité de $X$ est donc :

• $k=0$ : $p_{k}=0{,}20$

• $k=10$ : $p_{k}=0{,}05$

• $k=16$ : $p_{k}=0{,}75$.

On vérifie que $0{,}20+0{,}05+0{,}75=1$.

Question 1. b)

Par définition de l'espérance :

Pour la variance, on utilise la formule de König-Huygens : $V(X)=E(X^{2})-\left(E(X)\right)^{2}$.

On calcule d'abord

Puis

Donc $E(X)=12{,}5$ et $V(X)=40{,}75$.

Question 2. a)

Les variables $X_{1},\ldots,X_{12}$ suivent la même loi que $X$, donc $E(X_{i})=12{,}5$ et $V(X_{i})=40{,}75$ pour tout $i$.

Par linéarité de l'espérance :

Les variables $X_{1},\ldots,X_{12}$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

Donc $E(S)=150$ et $V(S)=489$.

Question 2. b)

L'évènement $100<S<200$ s'écrit aussi $-50<S-150<50$, c'est-à-dire $|S-150|<50$. Son évènement contraire est $|S-150|\geqslant50$.

La variable $S$ admet une espérance $E(S)=150$ et une variance $V(S)=489$. On peut donc appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=50>0$ :

On obtient

Par passage à l'évènement contraire :

Or $0{,}8044>0{,}80$.

Donc on peut affirmer que la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à $0{,}80$.

Réponse : oui, $P(100<S<200)\geqslant0{,}8044>0{,}80$.

Points clés attendus

• Traduire les pourcentages en probabilités conditionnelles ($P_A(C)$, $P_R(C)$) et compléter l'arbre avec les probabilités des branches contraires.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant que $A$, $R$, $N$ forment une partition, puis résoudre l'équation en $x$.

• Calculer $P_C(N)$ par la définition de la probabilité conditionnelle, en réutilisant $P(N\cap C)$.

• Calculer espérance et variance de $X$ (formule de König-Huygens), puis justifier l'additivité de la variance par l'indépendance.

• Réécrire $100<S<200$ sous la forme $|S-150|<50$, citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et passer au contraire pour conclure.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.